S^1 und offenes Einheitsintervall/Topologisch/Differentialformen/Aufgabe/Lösung

a) Nach Fakt ist die ${}S^{1}$ als abgeschlossene und beschränkte Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{2}$ kompakt, das offene Intervall ist dagegen nicht kompakt.

b) Es ist

${}\omega =hdt\,$

mit einer stetigen Funktion

$h\colon ]0,1[\longrightarrow \mathbb {R} .$

Nach dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung besitzt ${}h$ eine Stammfunktion ${}H$. In der Sprache der Differentialformen bedeutet dies

${}H'=hdt=\omega \,,$

also ist ${}\omega$ exakt.

c) Es sei ${}S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$ gegeben, wobei die Koordinaten des ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit ${}u$ und ${}v$ bezeichnet seien. Wir betrachten die Differentialform

${}\omega =udv-vdu\,$

auf ${}S^{1}$. Da ${}S^{1}$ eindimensional ist, ist sie geschlossen. Für den Weg

$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}},$

ist

${}\int _{\gamma }\omega =\int _{0}^{2\pi }\gamma ^{*}\omega dt=\int _{0}^{2\pi }\cos t\cdot \cos t+\sin t\sin tdt=\int _{0}^{2\pi }1dt=2\pi \,.$

Nach Fakt

kann ${}\omega$ nicht exakt sein.

Zur gelösten Aufgabe