Satz über die injektive Abbildung/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei und . Es sei das Bild des totalen Differentials . Nach Fakt  (1) ist ein Untervektorraum der Dimension . Wir ergänzen eine Basis von durch zu einer Basis von und setzen . Wir betrachten die Abbildung

wobei links und rechts zwei -dimensionale Vektorräume stehen. Diese Abbildung kann man als die Hintereinanderschaltung

auffassen. Daher ist die Gesamtabbildung stetig differenzierbar und das totale Differential ist , wobei die lineare Einbettung des Unterraums ist. Dieses totale Differential ist surjektiv im Punkt , da sowohl als auch zum Bild gehören, und somit bijektiv. Wir können also den Satz über die Umkehrabbildung anwenden und erhalten offene Mengen und derart, dass ein Diffeomorphismus zwischen und ist. Dies können wir einschränken auf eine offene Menge der Form mit und . Dann ist die Abbildung

injektiv, da dies die Hintereinanderschaltung

mit ist.

Zur bewiesenen Aussage