Wenn
ein
endlicher Körper
ist, so ist auch
endlich und die Voraussetzung über die endlich vielen Zwischenkörper ist automatisch erfüllt. In diesem Fall ist aber auch nach
Fakt
die Körpererweiterung einfach. Wir können also annehmen, dass
unendlich ist. Es sei zunächst vorausgesetzt, dass es in
nur endlich viele Zwischenkörper gibt. Sei
.
Jeder von
verschiedene Zwischenkörper
,
,
ist ein maximal
-dimensionaler
-Untervektorraum
von
und daher gibt es eine von
verschiedene
-lineare Abbildung
-
mit
.
Zu
gehört ein lineares Polynom
(in
Variablen)
mit der entsprechenden Eigenschaft. Das Polynom
ist dann auf der Vereinigung aller Zwischenkörper
gleich
. Da
unendlich ist, gibt es aber nach
Aufgabe
auch Elemente
mit
.
Der von einem solchen Element
über
erzeugte Körper muss gleich
sein, da er nach Konstruktion in keinem anderen Zwischenkörper liegt.
Es sei nun
-
![{\displaystyle {}L=K(x)=K[x]=K[X]/(F)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/479e0dcad8277cb3441c04c6ace0b80459fe5079)
eine einfache Körpererweiterung mit dem
Minimalpolynom
. Für jeden Zwischenkörper
,
,
ist
und das Minimalpolynom
von
über
ist in
und insbesondere in
ein Teiler von
. Nach
Fakt
besteht die Beziehung
,
wobei die
die Koeffizienten von
sind. Da
in
nur endlich viele
(normierte)
Teiler besitzt, gibt es nur endlich viele Zwischenkörper.