Satz vom primitiven Element/Zwischenkörperversion/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn $K$ ein endlicher Körper ist, so ist auch $L$ endlich und die Voraussetzung über die endlich vielen Zwischenkörper ist automatisch erfüllt. In diesem Fall ist aber auch nach Fakt die Körpererweiterung einfach. Wir können also annehmen, dass $K$ unendlich ist. Es sei zunächst vorausgesetzt, dass es in $K \subseteq L$ nur endlich viele Zwischenkörper gibt. Sei ${grad}_{K} L = n$ . Jeder von $L$ verschiedene Zwischenkörper $M_{i}$ , $i = 1, \dots, k$ , ist ein maximal $(n - 1)$ -dimensionaler $K$ -Untervektorraum von $L$ und daher gibt es eine von $0$ verschiedene $K$ -lineare Abbildung

φ_{i} : L ⟶ K

mit $φ_{i} (M_{i}) = 0$ . Zu $φ_{i}$ gehört ein lineares Polynom $P_{i}$ (in $n$ Variablen) mit der entsprechenden Eigenschaft. Das Polynom $P = \prod_{i = 1}^{k} P_{i}$ ist dann auf der Vereinigung aller Zwischenkörper $M_{i} \neq L$ gleich $0$ . Da $K$ unendlich ist, gibt es aber nach Aufgabe auch Elemente $a = (a_{1}, \dots, a_{n}) \in L$ mit $P (a) \neq 0$ . Der von einem solchen Element $a$ über $K$ erzeugte Körper muss gleich $L$ sein, da er nach Konstruktion in keinem anderen Zwischenkörper liegt.

Es sei nun

L = K (x) = K [x] = K [X] / (F)

eine einfache Körpererweiterung mit dem Minimalpolynom $F \in K [X]$ . Für jeden Zwischenkörper $M$ , $K \subseteq M \subseteq L$ , ist $L = M (x)$ und das Minimalpolynom $G$ von $x$ über $M$ ist in $M [X]$ und insbesondere in $L [X]$ ein Teiler von $F$ . Nach Fakt besteht die Beziehung $M = K (b_{0}, \dots, b_{k})$ , wobei die $b_{j}$ die Koeffizienten von $G$ sind. Da $F$ in $L [X]$ nur endlich viele (normierte) Teiler besitzt, gibt es nur endlich viele Zwischenkörper.

Zur gelösten Aufgabe