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Satz von Bezout/Graph zweier Polynome/Beispiel

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Es seien verschiedene Polynome vom Grad und seien

und

die projektiven Abschlüsse der zugehörigen Graphen gemäß Fakt. Die Schnittpunkte von und in

sind einfach die Schnittpunkte der beiden Graphen. Man kann sie bestimmen, indem man die Nullstellen von bestimmt. Dabei gibt es maximal Nullstellen, auch wenn man die Multiplizitäten mitzählt (bei ist die Multiplizitätensummen genau gleich ). Sei . Nach Fakt gehört zu beiden Kurven auf noch der Punkt , dort muss also eine „hohe“ Schnittmultiplizität liegen, um auf die Gleichheit im Satz von Bezout zu kommen. Die inhomogenen Kurvengleichungen in

sind bzw. . Wir müssen die -Dimension des Restklassenrings

berechnen. Dieser Ring ist isomorph zu

Die linke Gleichung ist homogen vom Grad und kommt darin vor (es sei nun ), sodass wir damit durch „kleinere“ Monome ausdrücken können. Die rechte Gleichung führt auf

Da im lokalen Ring eine Einheit ist, können wir damit durch kleinere Monome ausdrücken. Somit ist

eine -Basis des Restklassenrings, bestehend aus Elementen. Die Schnittmultiplizität in diesem Punkt ist also , und somit gilt .