Es seien verschiedene Polynome vom Grad
und seien
-
und
-
die
projektiven Abschlüsse
der zugehörigen
Graphen
gemäß
Fakt.
Die Schnittpunkte von
und
in
-
sind einfach die Schnittpunkte der beiden Graphen. Man kann sie bestimmen, indem man die Nullstellen von bestimmt. Dabei gibt es maximal Nullstellen, auch wenn man die Multiplizitäten mitzählt
(bei ist die Multiplizitätensummen genau gleich ).
Sei
.
Nach
Fakt
gehört zu beiden Kurven auf noch der Punkt , dort muss also eine „hohe“ Schnittmultiplizität liegen, um auf die Gleichheit im
Satz von Bezout
zu kommen. Die inhomogenen Kurvengleichungen in
-
sind
bzw. .
Wir müssen die
-Dimension
des
Restklassenrings
-
berechnen. Dieser Ring ist isomorph zu
-
Die linke Gleichung ist homogen vom Grad und kommt darin vor
(es sei nun ),
sodass wir damit durch „kleinere“ Monome ausdrücken können. Die rechte Gleichung führt auf
-
Da im lokalen Ring eine Einheit ist, können wir damit durch kleinere Monome ausdrücken. Somit ist
-
eine
-Basis
des Restklassenrings, bestehend aus Elementen. Die Schnittmultiplizität in diesem Punkt ist also , und somit gilt
.