Schema/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein Schema ist ein beringter Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ derart, dass es eine offene Überdeckung  ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$  gibt, für die die ${}(U_{i},{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}})$ affine Schemata sind.

Lemma

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein Schema und  ${}P\in X$  ein Punkt.

Dann gibt es zu jeder offenen Umgebung  ${}P\in U$  eine offene affine Umgebung  ${}P\in V\subseteq U$. 

Beweis

Es sei

${}P\in W=\operatorname {Spec} {\left(R\right)}\,$

eine offene affine Umgebung von ${}P$. Dann ist  ${}P\in U\cap W\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$  eine offene Teilmenge von ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ und damit von der Form  ${}U\cap W=D{\left({\mathfrak {a}}\right)}$  mit einem Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$.  Wegen  ${}D{\left({\mathfrak {a}}\right)}=\bigcup _{f\in {\mathfrak {a}}}D(f)$  ist

${}P\in D(f)\subseteq D{\left({\mathfrak {a}}\right)}\subseteq U\,$

für ein ${}f$ und ${}D(f)$ ist affin nach Fakt.

$\Box$

Lemma

Eine offene Teilmenge  ${}U\subseteq X$  eines Schemas ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$

besitzt eine Überdeckung mit affinen offenen Mengen und ist somit selbst ein Schema.

Beweis

Als offene Teilmengen eines beringten Raumes ist ${}U$ ebenfalls ein beringter Raum. Die Existenz der affinen Überdeckung folgt unmittelbar aus Fakt.

$\Box$

Definition

Eine offene Teilmenge  ${}U\subseteq X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$  eines affinen Schemas ${}X$ nennt man ein quasiaffines Schema.

Definition

Zu einem lokalen Ring ${}(R,{\mathfrak {m}})$ nennt man

$\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\setminus \{{\mathfrak {m}}\}$

das punktierte Spektrum von ${}R$.