Schema/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein Schema ist ein beringter Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ derart, dass es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ gibt, für die die ${}(U_{i},{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}})$ affine Schemata sind.

Lemma

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein Schema und ${}P\in X$ ein Punkt.

Dann gibt es zu jeder offenen Umgebung ${}P\in U$ eine offene affine Umgebung ${}P\in V\subseteq U$.

Beweis

Es sei

${}P\in W=\operatorname {Spec} {\left(R\right)}\,$

eine offene affine Umgebung von ${}P$. Dann ist ${}P\in U\cap W\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eine offene Teilmenge von ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ und damit von der Form ${}U\cap W=D{\left({\mathfrak {a}}\right)}$ mit einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$. Wegen ${}D{\left({\mathfrak {a}}\right)}=\bigcup _{f\in {\mathfrak {a}}}D(f)$ ist

${}P\in D(f)\subseteq D{\left({\mathfrak {a}}\right)}\subseteq U\,$

für ein ${}f$ und ${}D(f)$ ist affin nach Fakt.

$\Box$

Lemma

Eine offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ eines Schemas ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$

besitzt eine Überdeckung mit affinen offenen Mengen und ist somit selbst ein Schema.

Beweis

Als offene Teilmengen eines beringten Raumes ist ${}U$ ebenfalls ein beringter Raum. Die Existenz der affinen Überdeckung folgt unmittelbar aus Fakt.

$\Box$

Definition

Eine offene Teilmenge ${}U\subseteq X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines affinen Schemas ${}X$ nennt man ein quasiaffines Schema.

Definition

Zu einem lokalen Ring ${}(R,{\mathfrak {m}})$ nennt man

$\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\setminus \{{\mathfrak {m}}\}$

das punktierte Spektrum von ${}R$.