Separabler Hilbertraum/Orthonormalisierungsverfahren/Bemerkung

In einem ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt kann man ein gegebenes System von linear unabhängigen Vektoren ${}v_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, mit Hilfe des Orthonomalisierungsverfahrens im endlichdimensionalen Fall in ein abzählbar unendliches Orthonormalsystem überführen. Speziell kann man in einem separablen Hilbertraum aus jeder linear unabhängigen Familie, die einen dichten Untervektorraum erzeugt, ein abzählbares vollständiges Orthonormalsystem gewinnen.