Sesquilinearform/Gramsche Matrix unter Basiswechsel/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $ℂ$-Vektorraum mit einer Sesquilinearform $⟨-,-⟩$. Es seien $𝔳=v_1,\dots ,v_n$ und $𝔴=w_1,\dots ,w_n$ Basen von $V$ und es seien $G$ bzw. $H$ die Gramschen Matrizen von $⟨-,-⟩$ bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen

$w_j=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{v}_i,$

die wir durch die Übergangsmatrix  $A={\left(a_{ij}\right)}_{i,j}$  ausdrücken.

Dann besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung

$H=A^{\text{tr}}G\bar{A}.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen