Sigmaendliche Räume/Satz von Fubini/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Voraussetzung und nach Fakt ist die Funktion ${}x\mapsto \int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)$ integrierbar. Dies bedeutet insbesondere, dass das Integral ${}\int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)$ fast überall einen endlichen Wert hat, dass es also eine Nullmenge ${}Z\subseteq M$ gibt mit ${}\int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)<\infty$ für ${}x\notin Z$. Daher sind nach Fakt für ${}x\notin Z$ die Integrale ${}\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)$ definiert und endlich, und dies gilt ebenso für die positiven und negativen Teile ${}f_{+}(x,y)$ und ${}f_{-}(x,y)$.

Da sich Integrale nicht ändern, wenn man im Integrationsgebiet eine Nullmenge weglässt, und da ${}Z\times N$ eine Nullmenge in der Produktmenge ist, kann man ${}M$ durch ${}M\setminus Z$ ersetzen. Wir schreiben

$\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M\times N}(f_{+}-f_{-})\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M\times N}f_{+}\,d(\mu \otimes \nu )-\int _{M\times N}f_{-}\,d(\mu \otimes \nu )\,$

und wenden auf die beiden Summanden Fakt an, so dass dies gleich

${}{\begin{aligned}&=\int _{M}{\left(\int _{N}f_{+}(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)-\int _{M}{\left(\int _{N}f_{-}(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}\left(\int _{N}(f_{+}(x,y)-f_{-}(x,y))\,d\nu (y)\right)\,d\mu (x)\\&=\int _{M}\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)\right)\,d\mu (x)\end{aligned}}$

ist.

Zur bewiesenen Aussage