Singularitäten/Implizite Funktionen/Motivation/Einführung/Textabschnitt

Wir erinnern an den Satz über implizite Abbildungen, wie er in der Analysis II vorkommt.

Satz

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in G$ und es sei ${}Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$ die Faser durch ${}P$. Das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv.

Dann gibt es eine offene Menge ${}P\in W$, ${}W\subseteq G$, eine offene Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung

$\psi \colon V\longrightarrow W$

derart, dass ${}\psi (V)\subseteq Z\cap W$ ist und ${}\psi$ eine Bijektion

$\psi \colon V\longrightarrow Z\cap W$

induziert.

Die Abbildung ${}\psi$ ist in jedem Punkt ${}Q\in V$ regulär und für das totale Differential von ${}\psi$ gilt

${}\left(D\varphi \right)_{\psi (Q)}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,.$

Das total Differential wird bezüglich der Standardbasen des ${}\mathbb {R} ^{n}$ bzw. des ${}\mathbb {R} ^{m}$ durch die Jacobi-Matrix

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}$

beschrieben. Damit das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ surjektiv sein kann, muss ${}n\geq m$ gelten. In diesem Fall ist es das „typische Verhalten“, dass ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ surjektiv ist und dass man daher den Satz anwenden kann. Der Satz über implizite Abbildungen gibt Anlass zu einer ganzen Theorie von geometrischen Objekten, den Mannigfaltigkeiten. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum, der lokal wie eine offene Menge des ${}\mathbb {R} ^{n}$ aussieht (und wobei die Übergangsabbildungne stetig differenzierbar sein müssen). Der Satz über implizite Abbildungen besagt, dass die regulären Punkte einer Faser eine Mannigfaltigkeit bilden. Wenn man statt ${}\mathbb {R}$ die komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ zugrunde legt, und die komplexe Differenzierbarkeit fordert, so gilt auch die komplexe Version des Satzes. Die Fasern sind dann komplexe Mannigfaltigkeiten.

Wir betrachten die geometrische Relevanz des Satzes in kleinen Dimensionen. Schon der Fall ${}m=1$ und ${}n=2$ ist sehr aussagekräftig, wir formulieren ihn explizit.

Die Nullstellenmenge zu ${}y^{2}=x^{3}$ heißt Neilsche Parabel.

Die Nullstellenmenge zu ${}y^{2}=x^{2}+x^{3}$.

Korollar

Sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Abbildung, sei ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ und sei ${}Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$ die Faser durch ${}P$. Die Jacobimatrix ${}\left(\partial _{1}\varphi (P),\,\partial _{2}\varphi (P)\right)$ sei surjektiv.

Dann gibt es eine offene Menge ${}P\in W$, ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, ein offenes Intervall ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{1}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung

$\psi \colon V\longrightarrow W$

derart, dass ${}\psi (V)\subseteq Z\cap W$ ist und ${}\psi$ eine Bijektion

$\psi \colon V\longrightarrow Z\cap W$

induziert.

Hier kann man sich vorstellen, dass ${}\varphi$ ein Gebirge über der Ebene beschreibt, die Fasern sind dann die Höhenlinien und der Satz besagt, dass diese in regulären Punkten lokal wie ein Graph zu einer stetig differenzierbaren Funktion in einer Variablen aussehen.

Das Nullstellengebilde zu ${}z^{2}=x^{2}+y^{2}$ ist eine Fläche im Raum, man spricht von einem Doppelkegel. Gemäß dem Satz über implizite Abbildungen ist es außerhalb der Kegelspitze eine zweidimensionale reelle Mannigfaltigkeit. In der Kegelspitze ist es aber definitiv keine Mannigfaltigkeit. Wenn man nämlich die Spitze aus dem Doppelkegel herausnimmt, so zerfällt dieser in zwei Zusammenhangskomponenten, während ein zweidimensionaler offener Ball, aus dem man einen Punkt herausnimmt, zusammenhängend bleibt.

Eine Verallgemeinerung des letzten Satzes davon ist durch eine stetig differenzierbare Abbildung

$F\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

gegeben. Die Menge ${}F^{-1}(b)$ nennt man auch eine Hyperfläche. In einem regulären Punkt, wenn man also den Satz über implizite Abbildungen anwenden kann, sieht eine solche Hyperfläche lokal wie eine offene Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{n-1}$ aus. Die „Dimension“ dieses geometrischen Objektes ist also um ${}1$ kleiner als die des umgebenden Raumes ${}\mathbb {R} ^{n}$. Dies ist mit „Hyper“ gemeint, bei

${}n=3\,$

ist eine Hyperfläche eine Fläche.