Sinus und Kosinus/Monotonieeigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Ableitung des Sinus ist nach Fakt der Kosinus. Dieser hat im Innern von keine Nullstelle, da ja als kleinste positive Nullstelle des Kosinus definiert ist und da der Kosinus gerade ist. Ferner besitzt der Kosinus an der Stelle den Wert . Nach dem Zwischenwertsatz muss als der Kosinus im Innern des Intervalls positiv sein. Nach Fakt ist daher der Sinus im angegebenen Intervall streng wachsend und damit injektiv. Wegen und ist aufgrund des Zwischenwertsatzes das Bild gleich dem Intervall und der Sinus ist bijektiv.

Die Aussage für den Kosinus folgt daraus mittels Fakt  (3).