Sinus und Kosinus/Monotonieeigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Die Ableitung des Sinus ist nach Fakt der Kosinus. Dieser hat im Innern von ${}[-\pi /2,\pi /2]$ keine Nullstelle, da ja ${}\pi /2$ als kleinste positive Nullstelle des Kosinus definiert ist und da der Kosinus gerade ist. Ferner besitzt der Kosinus an der Stelle ${}0$ den Wert ${}1$. Nach dem Zwischenwertsatz muss als der Kosinus im Innern des Intervalls positiv sein. Nach Fakt ist daher der Sinus im angegebenen Intervall streng wachsend und damit injektiv. Wegen ${}\sin \left(-\pi /2\right)=-1$ und ${}\sin \left(\pi /2\right)=1$ ist aufgrund des Zwischenwertsatzes das Bild gleich dem Intervall ${}[-1,1]$ und der Sinus ist bijektiv.

Die Aussage für den Kosinus folgt daraus mittels Fakt  (3).

Zur bewiesenen Aussage