Skalare Operation auf KX,Y/Invariantenring und Quotientenkörper/Beispiel

Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Wir betrachten auf  $R=K[X,Y]$  die Operation von $K^{\times }$ durch skalare Multiplikation. Zu  $\lambda \in K^{\times }$  gehört also der durch $X\mapsto \lambda X,Y\mapsto \lambda Y$ gegebene $K$-Algebrahomomorphismus. Der Invariantenring dazu ist $K$, also ein Körper. Der Quotientenkörper von $K[X,Y]$ ist der Funktionenkörper $K(X,Y)$ in zwei Variablen. Sein Invariantenring unter der Operation ist $K\left(\frac{X}{Y}\right)$, also der Funktionenkörper in einer Variablen. In dieser Situation gilt also

$Q\left(R^G\right)\ne (Q(R){)}^G.$