Stammfunktion/Partielle Integration/Textabschnitt

Satz

Es seien

$f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetig differenzierbare Funktionen.

Dann gilt

${}\int _{a}^{b}f(t)g'(t)\,dt=fg|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt\,.$

Beweis

Aufgrund der Produktregel ist ${}fg$ eine Stammfunktion von ${}fg'+f'g$. Daher ist

$\int _{a}^{b}f(t)g'(t)\,dt+\int _{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\left(fg'+f'g\right)}(t)\,dt=fg|_{a}^{b}\,.$

$\Box$

Bei der partiellen Integration sind insbesondere zwei Dinge zu beachten. Erstens liegt die zu integrierende Funktion im Allgemeinen nicht in der Form ${}fg'$ vor, sondern einfach als Produkt ${}uv$ (wenn kein Produkt vorliegt, so kommt man mit dieser Regel sowieso nicht weiter, wobei allerdings die triviale Produktzerlegung ${}1u$ manchmal helfen kann). Dann muss man einen Faktor integrieren und den anderen differenzieren. Wenn ${}V$ eine Stammfunktion von ${}v$ ist, so lautet die Formel

${}\int uv=uV-\int u'V\,.$

Zweitens führt partielle Integration nur dann zum Ziel, wenn das Integral rechts, also ${}\int _{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt$, integriert werden kann.

Beispiel

Wir bestimmen eine Stammfunktion des natürlichen Logarithmus ${}\ln x$ mittels partieller Integration, wobei wir ${}\ln x=1\cdot \ln x$ schreiben und die konstante Funktion ${}1$ integrieren und den Logarithmus ableiten. Damit ist

${}\int _{a}^{b}\ln x\,dx=(x\cdot \ln x)|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}x\cdot {\frac {1}{x}}\,dx=(x\cdot \ln x)|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}1\,dx=(x\cdot \ln x)|_{a}^{b}-x|_{a}^{b}\,.$

Eine Stammfunktion ist also ${}x\cdot \ln x-x$.

Beispiel

Eine Stammfunktion der Sinusfunktion ${}\sin x$ ist ${}-\cos x$. Um Stammfunktionen zu ${}\sin ^{n}x$ zu finden, verwenden wir partielle Integration, um eine rekursive Beziehung zu Potenzen mit kleinerem Exponenten zu erhalten. Um dies präzise zu machen, arbeiten wir mit Intervallgrenzen, und zwar sollen die Stammfunktionen von ${}0$ ausgehen, also für ${}0$ den Wert ${}0$ besitzen. Für ${}n\geq 2$ ist mittels partieller Integration

${}{\begin{aligned}\int _{0}^{x}\sin ^{n}t\,dt&=\int _{0}^{x}\sin ^{n-2}t\cdot \sin ^{2}t\,dt\\&=\int _{0}^{x}\sin ^{n-2}t\cdot {\left(1-\cos ^{2}t\right)}\,dt\\&=\int _{0}^{x}\sin ^{n-2}t\,dt-\int _{0}^{x}{\left(\sin ^{n-2}t\cos t\right)}\cos t\,dt\\&=\int _{0}^{x}\sin ^{n-2}t\,dt-{\frac {\sin ^{n-1}t}{n-1}}\cos t|_{0}^{x}-{\frac {1}{n-1}}{\left(\int _{0}^{x}\sin ^{n}t\,dt\right)}.\end{aligned}}$

Durch Multiplikation mit ${}n-1$ und Umstellen erhält man

$n\int _{0}^{x}\sin ^{n}t\,dt=(n-1)\int _{0}^{x}\sin ^{n-2}t\,dt-\sin ^{n-1}x\cos x\,.$

Speziell ergibt sich für ${}n=2$

${}\int _{0}^{x}\sin ^{2}t\,dt={\frac {1}{2}}{\left(x-\sin x\cos x\right)}\,.$