Stammfunktion/Rationale Funktion/1 durch x^3-1/Beispiel

Wir möchten eine Stammfunktion zu

$f(x)=\frac{1}{x^3-1}$

bestimmen. Nach Beispiel ist die reelle Partialbruchzerlegung gleich

$\begin{array}{cc}\frac{1}{x^3-1}& =\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x-1}-\frac{1}{3}\cdot \frac{x+2}{x^2+x+1}\\ & =\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x-1}-\frac{1}{6}\cdot \frac{2x+4}{x^2+x+1}\\ & =\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x-1}-\frac{1}{6}\cdot \frac{2x+1}{x^2+x+1}-\frac{1}{6}\cdot \frac{3}{x^2+x+1}\\ & =\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x-1}-\frac{1}{6}\cdot \frac{2x+1}{x^2+x+1}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^2+x+1}.\end{array}$

Als Stammfunktion ergibt sich daher

$\frac{1}{3}\ln |x-1|-\frac{1}{6}\cdot \ln (x^2+x+1)-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \arctan \frac{2}{\sqrt{3}}(x+\frac{1}{2}),$

wobei wir für den rechten Summanden Fakt verwendet haben.