Standard-graduierter Ring/K/Endlich erzeugter Modul/Kumulative Hilbertfunktion/Beziehung/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein standard-graduierter Ring und ${}M$ ein ${}\mathbb {Z}$-graduierter endlich erzeugter Modul über ${}R$. Zeige, dass das die Ableitung des kumulativen Hilbertpolynoms zu ${}M$ das Hilbertpolynom zu ${}M$ ist. Folgere, das man die Multiplizität von ${}M$, wenn das Hilbertpolynom nicht das Nullpolynom ist, mit der gleichen Formel (also Leitkoeffizient multipliziert mit der Fakultät des Grades) auch aus dem kumultativen Hilbertpolynom berechnen kann. Zeige ebenso, dass, falls das Hilbertpolynom das Nullpolynom ist, die mit dem kumulativen Hilbertpolynom bestimmte Multiplizität die direkt definierte Multiplizität ergibt.

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