Es sei
ein
Körper.
Im
Polynomring
betrachten wir die Primideale
.
Hierbei ist
ein
Primhauptideal
und hat die Höhe
und
und
sind Primideale der Höhe
. Die zugehörigen Varietäten
und
sind affine Ebenen im
und haben die Dimension
. Wir betrachten die entsprechende Situation im
Restklassenring
-
![{\displaystyle {}R=K[X,Y,W,Z]/(XY-ZW)\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/879e82968c64d459afd902fcea65eb9cfe80748b)
der die
Dimension
besitzt. Die Dimensionen der beiden Primideale bzw. der dadurch definierten Ebenen sind nach wie vor
, allerdings ist ihre Höhe bzw. Kodimension jetzt
. Der Durchschnitt dieser beiden Ebenen ist
-
![{\displaystyle {}V({\mathfrak {p}})\cap V({\mathfrak {q}})=V({\mathfrak {p}}+{\mathfrak {q}})=V(X,Y,W,Z)=V({\mathfrak {m}})\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d9d298b9d6efb23fafc7f40a069edbe825df334)
also einfach ein Punkt der Kodimension
. Der Ring
mit den beiden Untervarietäten
und
liefert also ein Beispiel, das zeigt, dass die Summe der Kodimensionen von Untervarietäten kleiner als die Kodimension ihres Schnittes sein kann. Dabei sind die Untervarietäten
glatt,
die Gesamtvarietät
ist aber eine
isolierte
Hyperflächensingularität.