Stetige Abbildung/Garbe der stetigen Schnitte/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an, d.h. es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und es sei

$p\colon Y\longrightarrow X$

eine fixierte stetige Abbildung, und es sei

$U\mapsto S(U,Y)={\left\{s:U\rightarrow p^{-1}(U)\mid s{\text{ stetiger Schnitt zu }}p\right\}}$

die Prägarbe der stetigen Schnitte in ${}Y$. Dies ist eine Garbe. Die erste Serresche Bedingung ist erfüllt, da zwei Schnitte übereinstimmen, wenn sie in jedem Punkt ${}P\in U$ den gleichen Wert haben, was bei einer offenen Überdeckung lokal getestet werden kann. Die zweite Serresche Bedingung ist erfüllt, da man zu einer Familie von stetigen verträglichen Schnitten

$s_{i}\colon U_{i}\longrightarrow Y{|}_{U_{i}}$

direkt einen Schnitt

$s\colon U\longrightarrow Y{|}_{U}$

definieren kann, der diese simultan fortsetzt. Die Stetigkeit folgt, da diese lokal getestet werden kann.