Stetige Funktion/K/Motivation/Einführung/Textabschnitt

Den Abstand zwischen zwei reellen (oder komplexen) Zahlen ${}x$ und ${}x'$ bezeichnen wir mit

${}d(x,x'):=\vert {x-x'}\vert \,.$

Bei einer Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

kann man sich fragen, inwiefern der Abstand in der Wertemenge durch den Abstand in der Definitionsmenge kontrollierbar ist. Es sei ${}x\in \mathbb {R}$ und ${}y=f(x)$ der Bildpunkt. Man möchte, dass für Punkte ${}x'$, die „nahe“ an ${}x$ sind, auch die Bildpunkte ${}f(x')$ „nahe“ an ${}f(x)$ sind. Schon lineare Funktionen mit unterschiedlicher Steigung zeigen, dass die „Nähe“ im Bildbereich nicht mit der „Nähe“ im Definitionsbereich direkt verglichen werden kann. Die Zielsetzung ist vielmehr, dass zu einer gewünschten Genauigkeit im Bildbereich überhaupt eine Ausgangsgenauigkeit gefunden werden kann, die sichert, dass die Funktionswerte innerhalb der gewünschten Genauigkeit beieinander liegen.

Um diese intuitive Vorstellung zu präzisieren, sei ein ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Dieses ${}\epsilon$ repräsentiert eine „gewünschte Zielgenauigkeit“. Die Frage ist dann, ob man ein ${}\delta >0$ finden kann (eine „Startgenauigkeit“) mit der Eigenschaft, dass für alle ${}x'$ mit ${}d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ die Beziehung ${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$ gilt. Dies führt zum Begriff der stetigen Abbildung, den wir parallel für die reellen und die komplexen Zahlen entwickeln. Wir verwenden für ${}\mathbb {R}$ und ${}{\mathbb {C} }$ das gemeinsame Symbol ${}{\mathbb {K} }$ und wir betrachten Funktionen

$\varphi \colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

wobei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge ist. Wegen ${}\mathbb {R} \subset {\mathbb {C} }$ könnte man sich auf ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ beschränken. Allerdings ist die reelle Situation etwas suggestiver und viele komplexe Fragestellungen lassen sich einfach auf den reellen Fall zurückführen, sodass es durchaus erlaubt ist, sich zunächst auf ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ zu beschränken.

Definition

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge,

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion und ${}x\in T$. Man sagt, dass ${}f$ stetig im Punkt ${}x$ ist, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'$ mit ${}d(x,x')\leq \delta$ die Abschätzung ${}d(f(x),f(x'))\leq \epsilon$ gilt. Man sagt, dass ${}f$ stetig ist, wenn sie in jedem Punkt ${}x\in T$ stetig ist.

Bei ${}T$ sollte man an den Definitionsbereich der Funktion denken. Typische Situationen sind, dass ${}T$ ganz ${}{\mathbb {K} }$ ist, oder ein reelles Intervall, oder ${}\mathbb {R}$ ohne endlich viele Punkte und Ähnliches. Statt mit den nichnegativen reellen Zahlen ${}\epsilon$ und ${}\delta$ kann man genauso gut mit Stammbrüchen ${}{\frac {1}{n}}$ und ${}{\frac {1}{m}}$ arbeiten.

Beispiel

Eine konstante Funktion

${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto c,$

ist stetig. Zu jedem vorgegeben ${}\epsilon$ kann man hier ein beliebiges ${}\delta$ wählen, da ja ohnehin

${}d(f(x),f(x'))=d(c,c)=0\leq \epsilon \,$

gilt.

Beispiel

Eine lineare Funktion

${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto cx,$

mit einem Proportionalitätsfaktor ${}c\neq 0$ (bei ${}c=0$ ist die Funktion konstant und somit auch stetig) ist stetig. Zu jedem vorgegebenen ${}\epsilon$ kann man unabhängig vom Punkt ${}x$ hier ${}\delta ={\frac {\epsilon }{\vert {c}\vert }}$ wählen: Wenn nämlich

${}d(x,x')\leq \delta ={\frac {\epsilon }{\vert {c}\vert }}\,$

gilt, so ist

${}d(f(x),f(x'))=d(cx,cx')=\vert {c}\vert \cdot d(x,x')\leq \vert {c}\vert \cdot \delta =\vert {c}\vert \cdot {\frac {\epsilon }{\vert {c}\vert }}=\epsilon \,.$

Insbesondere ist die Identität

${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto x,$

stetig.

Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f(x)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}x<0\,,\\1,{\text{ falls }}x\geq 0\,.\end{cases}}\,$

Diese Funktion ist im Nullpunkt ${}0$ nicht stetig. Für ${}\epsilon ={\frac {1}{2}}$ und jedes beliebige positive ${}\delta$ gibt es nämlich negative Zahlen ${}x'$ mit ${}d(0,x')=\vert {x'}\vert \leq \delta$. Für diese ist aber ${}d(f(0),f(x'))=d(1,0)=1\not \leq {\frac {1}{2}}$.

Nicht jede stetige Funktion kann man zeichnen, auch nicht nach beliebiger Vergrößerung. Gezeigt wird eine Approximation einer Weierstraß-Funktion, die stetig, aber nirgendwo differenzierbar ist. Bei einer stetigen Funktion kann man zwar die Größe der Schwankungen im Bildbereich durch Einschränkungen im Definitionsbereich kontrollieren, die Anzahl der Schwankungen (die Anzahl der Richtungswechsel des Graphen) kann man aber nicht kontrollieren.