Strahlensätze/Lineare Algebra/Textabschnitt

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Wir formulieren in der Sprache der linearen Algebra die Strahlensätze. Dabei legen wir einen zweidimensionalen euklidischen Vektorraum zugrunde, der die Längenmessung von Strecken erlaubt. Zwei affine Geraden heißen parallel, wenn sie von dem gleichen Vektor aufgespannt werden. Wir formulieren die Strahlensätze so, dass der Schnittpunkt der Strahlen der Nullpunkt ist. Dies kann man stets erreichen, indem man den Schnittpunkt in den Nullpunkt verschiebt, wobei sich die Längen nicht verändern.

Thales theorem.svg



Satz  

Es sei ein zweidimensionaler euklidischer Vektorraum und es seien von verschiedene Vektoren und sei sowohl zu als auch zu linear unabhängig sei. Es seien und die durch und definierten Geraden (die Strahlen) und es seien und Punkte in mit den zugehörigen parallelen Geraden und . Die Schnittpunkte der Geraden (die aufgrund der Voraussetzungen eindeutig existieren) seien

und es seien .

Dann ist

Beweis  

Ohne Einschränkung sei , und , da dies die beteiligten Geraden nicht ändert. Wir schreiben . Es ist und somit ist

Dieser Punkt gehört sowohl zu als auch zu , was bedeutet, dass es sich um den Punkt handelt. Es ist also und daher


Der vorstehende Satz besagt insbesondere, dass sich in der beschriebenen Situation entsprechende Seitenlängen der beiden Dreiecke und zueinander in der gleichen Weise verhalten. Die Dreiecke sind ähnlich, und zwar geht das Dreieck aus dem Dreieck durch eine Streckung mit dem Streckungsfaktor hervor. Dieser Streckungsfaktor tritt bei sämtlichen Streckenverhältnissen wieder auf.

Eine Anwendung des Strahlensatzes. Man kann den Abstand über den Fluss berechnen, ohne ihn zu überqueren.


Auch der Daumensprung beruht auf dem Strahlensatz.



Korollar  

Es sei ein zweidimensionaler euklidischer Vektorraum und es seien von verschiedene Vektoren und sei sowohl zu als auch zu linear unabhängig sei. Es seien und die durch und definierten Geraden (die Strahlen) und es seien und Punkte in mit den zugehörigen parallelen Geraden und . Die Schnittpunkte der Geraden seien

und es seien .

Dann ist

Beweis  

Dies folgt direkt aus Fakt.


Die in der vorstehenden Aussage mitbewiesene Gleichung

heißt auch Erster Strahlensatz. Er nimmt nur Bezug auf Längenverhältnisse auf den Strahlen.

Intercept2.svg


In der letzten Varianten des Strahlensatzes gibt es drei Strahlen, wir sprechen vom Dreistrahlensatz.



Satz  

Es sei ein zweidimensionaler euklidischer Vektorraum und es seien von verschiedene Vektoren und es sei linear unabhängig zu jedem dieser Vektoren. Es seien , , die durch die definierten Geraden (die Strahlen) und es seien und Punkte in mit den zugehörigen parallelen Geraden und . Die Schnittpunkte der Geraden (die aufgrund der Voraussetzungen eindeutig bestimmt sind) seien

und es seien .

Dann ist

Beweis  

Durch doppelte Anwendung von Fakt auf die beiden durch bzw. gegebenen zweistrahligen Situationen erhält man