Strahlensätze/Lineare Algebra/Textabschnitt

Wir formulieren in der Sprache der linearen Algebra die Strahlensätze. Dabei legen wir einen zweidimensionalen euklidischen Vektorraum zugrunde, der die Längenmessung von Strecken erlaubt. Zwei affine Geraden heißen parallel, wenn sie von dem gleichen Vektor aufgespannt werden. Wir formulieren die Strahlensätze so, dass der Schnittpunkt der Strahlen der Nullpunkt ist. Dies kann man stets erreichen, indem man den Schnittpunkt in den Nullpunkt verschiebt, wobei sich die Längen nicht verändern.

Satz

Es sei ${}V$ ein zweidimensionaler euklidischer Vektorraum und es seien ${}s_{1},s_{2},v\in V$ Vektoren und ${}v$ sei sowohl zu ${}s_{1}$ als auch zu ${}s_{2}$ linear unabhängig sei. Es seien ${}S_{1}=\mathbb {R} s_{1}$ und ${}S_{2}=\mathbb {R} s_{2}$ die durch ${}s_{1}$ und ${}s_{2}$ definierten Geraden (die Strahlen) und es seien ${}P$ und ${}Q$ Punkte in ${}V$ mit den zugehörigen parallelen Geraden ${}G=P+\mathbb {R} v$ und ${}H=Q+\mathbb {R} v$. Die Schnittpunkte der Geraden (die aufgrund der Voraussetzungen eindeutig existieren) seien

$A_{1}=S_{1}\cap G,\,A_{2}=S_{2}\cap G,\,B_{1}=S_{1}\cap H,\,B_{2}=S_{2}\cap H,$

und es seien ${}A_{1},B_{1}\neq 0$.

Dann ist

${}{\frac {d(B_{1},B_{2})}{\Vert {B_{1}}\Vert }}={\frac {d(A_{1},A_{2})}{\Vert {A_{1}}\Vert }}\,.$

Beweis

Ohne Einschränkung sei ${}s_{1}=A_{1}$, ${}s_{2}=A_{2}$ und ${}v=A_{2}-A_{1}$, da dies die beteiligten Geraden nicht ändert. Wir schreiben ${}B_{1}=tA_{1}$. Es ist ${}A_{2}=A_{1}+v$ und somit ist

${}tA_{2}=tA_{1}+tv=B_{1}+tv\,.$

Dieser Punkt gehört sowohl zu ${}S_{2}$ als auch zu ${}H$, was bedeutet, dass es sich um den Punkt ${}B_{2}$ handelt. Es ist also ${}B_{2}=tA_{2}$ und daher

${}{\frac {\Vert {B_{1}-B_{2}}\Vert }{\Vert {B_{1}}\Vert }}={\frac {\Vert {tA_{1}-tA_{2}}\Vert }{\Vert {tA_{1}}\Vert }}={\frac {\Vert {A_{1}-A_{2}}\Vert }{\Vert {A_{1}}\Vert }}\,.$

$\Box$

Der vorstehende Satz besagt insbesondere, dass sich in der beschriebenen Situation entsprechende Seitenlängen der beiden Dreiecke ${}0,A_{1},A_{2}$ und ${}0,B_{1},B_{2}$ zueinander in der gleichen Weise verhalten. Die Dreiecke sind ähnlich, und zwar geht das Dreieck ${}0,B_{1},B_{2}$ aus dem Dreieck ${}0,A_{1},A_{2}$ durch eine Streckung mit dem Streckungsfaktor ${}t$ hervor. Dieser Streckungsfaktor tritt bei sämtlichen Streckenverhältnissen wieder auf.

Eine Anwendung des Strahlensatzes. Man kann den Abstand über den Fluss berechnen, ohne ihn zu überqueren.

Auch der Daumensprung beruht auf dem Strahlensatz.

Korollar

Es sei ${}V$ ein zweidimensionaler euklidischer Vektorraum und es seien ${}s_{1},s_{2},v\in V$ Vektoren und ${}v$ sei sowohl zu ${}s_{1}$ als auch zu ${}s_{2}$ linear unabhängig sei. Es seien ${}S_{1}=\mathbb {R} s_{1}$ und ${}S_{2}=\mathbb {R} s_{2}$ die durch ${}s_{1}$ und ${}s_{2}$ definierten Geraden (die Strahlen) und es seien ${}P$ und ${}Q$ Punkte in ${}V$ mit den zugehörigen parallelen Geraden ${}G=P+\mathbb {R} v$ und ${}H=Q+\mathbb {R} v$. Die Schnittpunkte der Geraden seien

$A_{1}=S_{1}\cap G,\,A_{2}=S_{2}\cap G,\,B_{1}=S_{1}\cap H,\,B_{2}=S_{2}\cap H,$

und es seien ${}A_{1},A_{2},A_{1}-A_{2}\neq 0$.

Dann ist

${}{\frac {d(B_{1},B_{2})}{d(A_{1},A_{2})}}={\frac {\Vert {B_{1}}\Vert }{\Vert {A_{1}}\Vert }}={\frac {\Vert {B_{2}}\Vert }{\Vert {A_{2}}\Vert }}\,.$

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

$\Box$

Die in der vorstehenden Aussage mitbewiesene Gleichung

${}{\frac {\Vert {B_{1}}\Vert }{\Vert {A_{1}}\Vert }}={\frac {\Vert {B_{2}}\Vert }{\Vert {A_{2}}\Vert }}\,$

heißt auch Erster Strahlensatz. Er nimmt nur Bezug auf Längenverhältnisse auf den Strahlen.

In der letzten Varianten des Strahlensatzes gibt es drei Strahlen, wir sprechen vom Dreistrahlensatz.

Satz

Es sei ${}V$ ein zweidimensionaler euklidischer Vektorraum und es seien ${}s_{1},s_{2},s_{3}\in V$ Vektoren und es sei ${}v\in V$ linear unabhängig zu jedem dieser Vektoren. Es seien ${}S_{i}=\mathbb {R} s_{i}$, ${}i=1,2,3$, die durch die ${}s_{i}$ definierten Geraden (die Strahlen) und es seien ${}P$ und ${}Q$ Punkte in ${}V$ mit den zugehörigen parallelen Geraden ${}G=P+\mathbb {R} v$ und ${}H=Q+\mathbb {R} v$. Die Schnittpunkte der Geraden (die aufgrund der Voraussetzungen eindeutig bestimmt sind) seien

$A_{1}=S_{1}\cap G,\,A_{2}=S_{2}\cap G,\,A_{3}=S_{3}\cap G,\,B_{1}=S_{1}\cap H,\,B_{2}=S_{2}\cap H,\,B_{3}=S_{3}\cap H,$

und es seien ${}B_{1}\neq B_{2}$.

Dann ist

${}{\frac {d(B_{2},B_{3})}{d(A_{2},A_{3})}}={\frac {d(B_{1},B_{2})}{d(A_{1},A_{2})}}\,.$

Beweis

Durch doppelte Anwendung von Fakt auf die beiden durch ${}s_{1},s_{2}$ bzw. ${}s_{2},s_{3}$ gegebenen zweistrahligen Situationen erhält man

${}{\frac {d(B_{1},B_{2})}{d(A_{1},A_{2})}}={\frac {\Vert {B_{2}}\Vert }{\Vert {A_{2}}\Vert }}={\frac {d(B_{2},B_{3})}{d(A_{2},A_{3})}}\,.$

$\Box$