Symmetrische Polynome/Körper/Hauptsatz/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir führen Induktion über die gradlexikographische Ordnung. Zur Existenz. Es sei ein symmetrisches Polynom. Es sei das Leitmonom von (mit dem Koeffizienten ) Es ist für alle . Andernfalls nämlich betrachtet man die Permutation, die und vertauscht. Das resultierende Monom muss wegen der Symmetrie ebenfalls in vorkommen, wäre aber größer in der gradlexikographischen Ordnung.

Wir betrachten das Polynom

Dabei treten rechts die elementarsymmetrischen Polynome mit nichtnegativen Exponenten auf. Das Polynom rechts enthält ebenfalls als Leitmonom: Hierzu muss man sich die Monome in klar machen. Das Leitmonom von ist und das Leitmonom von ist (das Leitmonom ist multiplikativ, siehe Aufgabe). Daher hat das Polynom rechts das Leitmonom

In der Differenz verschwindet also dieses Monom, d.h. hat einen kleineren Grad in der gradlexikographischen Ordung. Da ebenfalls symmetrisch ist, liefert die Induktionsvoraussetzung die Behauptung.
Zur Eindeutigkeit. Wir zeigen, dass die elementarsymmetrischen Polynome algebraisch unabhängig sind. Sei also

wobei ein Polynom in den Variablen sei. Wir schreiben als Summe von Monomen der Form

mit . Es sei dasjenige Tupel mit , das in der gradlexikographischen Ordnung maximal ist unter allen Tupeln, für die in vorkommt (es werden also die verglichen, nicht die Differenzen). Dann besitzt als Polynom in das Leitmonom und wäre nicht .

Zur bewiesenen Aussage