Tensorprodukt/Bilinearform/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}(V_{1},\left\langle -,-\right\rangle _{1}),\ldots ,(V_{n},\left\langle -,-\right\rangle _{n})$ Vektorräume über ${}K$, auf denen jeweils eine Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle _{i}$ fixiert sei. Zeige, dass auf den Tensorprodukt ${}V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}$ eine Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ gegeben ist, für die

${}\left\langle v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n},w_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}w_{n}\right\rangle =\left\langle v_{1},w_{1}\right\rangle _{1}\cdots \left\langle v_{n},w_{n}\right\rangle _{n}\,$

gilt.

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