Tensorprodukt/Körperwechsel/Funktorialität/Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Wir betrachten die Zuordnung ${}V\mapsto V_{L}=L\otimes _{K}V$, die einem ${}K$-Vektorraum ${}V$ den ${}L$-Vektorraum ${}L\otimes _{K}V$ und einer ${}K$-linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

die Tensorierung ${}\varphi _{L}$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zur Identität

   $\operatorname {Id} _{V}\colon V\longrightarrow V$

   ist

   ${}{\left(\operatorname {Id} _{V}\right)}_{L}=\operatorname {Id} _{L\otimes _{K}V}\,$

   die Identität.

2. Zu linearen Abbildungen

   $U{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}V{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}W$

   ist

   ${}(\psi \circ \varphi )_{L}=\psi _{L}\circ \varphi _{L}\,.$

3. Zu einem Isomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   ist auch ${}\varphi _{L}$ ein Isomorphismus, und für die Umkehrabbildung gilt

   ${}{\left(\varphi _{L}\right)}^{-1}={\left(\varphi ^{-1}\right)}_{L}\,.$

Eine Lösung erstellen