Tensorprodukt/Moduln/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis

Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition des Tensorprodukts. (2). Da die ${}v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}$ ein ${}R$-Modulerzeugendensystem von ${}V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$ sind und

${}{\bar {\psi }}(v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n})=\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})\,$

gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den freien Modul ${}F$ aus der Konstruktion des Tensorprodukts. Die Symbole ${}v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}$ bilden eine Basis von ${}F$, daher legt die Vorschrift ${}\varphi {\left(v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}\right)}:=\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$ eine lineare Abbildung

$F\longrightarrow W$

fest. Wegen der Multilinearität von ${}\psi$ wird der Untermodul ${}U$ auf ${}0$ abgebildet. Daher induziert diese Abbildung nach dem Faktorisierungssatz einen ${}R$-Modulhomomorphismus

$F/U\cong V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}\longrightarrow W.$

Zur bewiesenen Aussage