Topologie/Kompaktheit/Grundbegriffe für Gitterpunktsatz/Textabschnitt

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Definition  

Ein topologischer Raum heißt kompakt (oder überdeckungskompakt), wenn es zu jeder offenen Überdeckung

eine endliche Teilmenge derart gibt, dass

ist.

Für eine Teilmenge im ist eine Teilmenge genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist (Satz von Heine-Borel).

Die endliche Vereinigung von kompakten Mengen ist kompakt. Abgeschlossene Teilmengen von kompakten Mengen sind wieder kompakt. Zu zwei disjunkten kompakten Mengen und in einem metrischen Raum gibt es einen Minimalabstand , siehe Aufgabe. D.h. zu je zwei Punkten und ist .