Topologische Mannigfaltigkeit/Fundamentalgruppe/Nach Dualraum/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologiegruppe/Fakt

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende topologische Mannigfaltigkeit.

Dann gibt es einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus

$H_{1}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow {H^{1}(X,{\mathbb {K} })}^{*},\,\gamma \longmapsto {\left(c\mapsto \int _{\gamma }c\right)},$

von der ersten Homologiegruppe in den Dualraum der ersten Kohomologie der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf ${}X$ mit Werten in ${}{\mathbb {K} }$. Der Kern der entsprechenden Abbildung von der Fundamentalgruppe

$\pi (X)\longrightarrow {H^{1}(X,{\mathbb {K} })}^{*},\,\gamma \longmapsto {\left(c\mapsto \int _{\gamma }c\right)},$

ist die Kommutatoruntergruppe.

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