Topologischer Raum/Garben/Homomorphismus/Erste Cech-Kohomologie/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus zwischen den Garben von kommutativen Gruppen ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ auf ${}X$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zu einer offenen Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ gibt es einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

   ${\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {G}}).$

2. Es gibt einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

   ${\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {F}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {G}}).$

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