Trigonometrische Funktionen/R/Reihen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Für ${}x\in \mathbb {R}$ heißt

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$

die Kosinusreihe und

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

die Sinusreihe zu ${}x$.

Durch Vergleich mit der Exponentialreihe ergibt sich sofort, dass diese beiden Reihen für jedes ${}x$ absolut konvergieren. Die zugehörigen Funktionen

$\cos x:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}{\text{ und }}\sin x:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

heißen Sinus und Kosinus. Beide Funktionen stehen unmittelbar in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion, wobei man allerdings die komplexen Zahlen braucht, um diesen Zusammenhang zu erkennen. Der Hintergrund ist, dass man in Potenzreihen stets auch komplexe Zahlen einsetzen kann (der Konvergenzbereich ist dann nicht ein reelles Konvergenzintervall, sondern eine Kreisscheibe). Für die Exponentialreihe und ${}z={\mathrm {i} }x$ (wobei ${}x$ reell oder komplex sein kann) ist (wir verwenden Rechenregeln für Potenzreihen, die wir für komplexe Zahlen nicht behandelt haben)

${}{\begin{aligned}\exp \left({\mathrm {i} }x\right)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {({\mathrm {i} }x)^{k}}{k!}}\\&=\sum _{k=0,\,k{\text{ gerade}}}^{\infty }{\frac {({\mathrm {i} }x)^{k}}{k!}}+\sum _{k=0,\,k{\text{ ungerade}}}^{\infty }{\frac {({\mathrm {i} }x)^{k}}{k!}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\mathrm {i} }x)^{2n}}{(2n)!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\mathrm {i} }x)^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+{\mathrm {i} }(-1)^{n}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x)^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\&=\cos x+{\mathrm {i} }\sin x.\end{aligned}}$

Mit dieser Beziehung zwischen komplexer Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen (die die eulersche Formel heißt) lassen sich viele Eigenschaften der letzteren besonders einfach beweisen. Prominente Spezialfälle dieser Beziehung sind

${}e^{\pi {\mathrm {i} }}=-1\,$

und

${}e^{2\pi {\mathrm {i} }}=1\,.$

Aufgrund von Fakt sind Sinus und Kosinus stetige Funktionen. Weitere wichtige Eigenschaften werden in der folgenden Aussage zusammengefasst.

Satz

Die Funktionen

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$

und

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$

besitzen für ${}x,y\in \mathbb {R}$ folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}\cos 0=1$ und ${}\sin 0=0$.
2. Es ist ${}\cos \left(-x\right)=\cos x$ und ${}\sin \left(-x\right)=-\sin x$.
3. Es gelten die Additionstheoreme

   ${}\cos(x+y)=\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y\,$

   und

   ${}\sin(x+y)=\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y\,.$

4. Es gilt

   ${}(\cos x)^{2}+(\sin x)^{2}=1\,.$

Beweis

(1) und (2) folgen direkt aus der Definition der Reihen.
(3). Der ${}2n$-te Summand (also derjenige Term, der die Potenz mit dem Exponenten ${}2n$ beinhaltet) in der Kosinusreihe (die Koeffizienten zu ${}x^{i}$, ${}i$ ungerade, sind ${}0$) von ${}x+y$ ist

${}{\begin{aligned}{\frac {(-1)^{n}(x+y)^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}\sum _{i=0}^{2n}{\binom {2n}{i}}x^{i}y^{2n-i}\\&=(-1)^{n}\sum _{i=0}^{2n}{\frac {1}{i!(2n-i)!}}x^{i}y^{2n-i}\\&=(-1)^{n}\sum _{j=0}^{n}{\frac {x^{2j}y^{2n-2j}}{(2j)!(2n-2j)!}}+(-1)^{n}\sum _{j=0}^{n-1}{\frac {x^{2j+1}y^{2n-2j-1}}{(2j+1)!(2n-2j-1)!}},\end{aligned}}$

wobei wir im letzen Schritt die Indexmenge in gerade und ungerade Zahlen aufgeteilt haben.

Der ${}2n$-te Summand im Cauchy-Produkt von ${}\cos x$ und ${}\cos y$ ist

${}{\begin{aligned}\sum _{j=0}^{n}{\frac {(-1)^{j}(-1)^{n-j}}{(2j)!(2(n-j))!}}x^{2j}y^{2(n-j)}&=(-1)^{n}\sum _{j=0}^{n}{\frac {x^{2j}y^{2(n-j)}}{(2j)!(2(n-j))!}}\\\end{aligned}}$

und der ${}2n$-te Summand im Cauchy-Produkt von ${}\sin x$ und ${}\sin y$ ist

${}{\begin{aligned}\sum _{j=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{j}(-1)^{n-1-j}}{(2j+1)!(2(n-1-j)+1)!}}x^{2j+1}y^{2(n-j)+1}&=(-1)^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{\frac {x^{2j+1}y^{2(n-1-j)+1}}{(2j+1)!(2(n-1-j)+1)!}}\\\end{aligned}}$

Daher stimmen die beiden Seiten des Additionstheorems im geraden Fall überein.

Bei einem ungeraden Index ist die linke Seite gleich ${}0$. Da in der Kosinusreihe nur gerade Exponenten vorkommen, kommen im Cauchy-Produkt der beiden Kosinusreihen nur Exponenten der Form ${}x^{i}y^{j}$ mit ${}i,j$ gerade vor. Da in der Sinusreihe nur ungerade Exponenten vorkommen, kommen im Cauchy-Produkt der beiden Sinusreihen nur Exponenten der Form ${}x^{i}y^{j}$ mit ${}i+j$ gerade vor. Deshalb kommen Ausdrücke der Form ${}x^{i}y^{j}$ mit ${}i+j$ ungerade weder links noch rechts vor.

Das Additionstheorem für den Sinus folgt ähnlich.
(4). Aus dem Additionstheorem für den Kosinus angewendet auf ${}y:=-x$ und aufgrund von (2) ergibt sich

${}{\begin{aligned}1&=\cos 0\\&=\cos \left(x-x\right)\\&=\cos x\cdot \cos \left(-x\right)-\sin x\cdot \sin \left(-x\right)\\&=\cos x\cdot \cos x+\sin x\cdot \sin x.\end{aligned}}$

$\Box$

Die letzte Aussage im vorstehenden Satz besagt, dass das Paar ${}(\cos x,\sin x)$ ein Punkt auf dem Einheitskreis ${}{\left\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}=1\right\}}$ ist. Wir werden später sehen, dass sich jeder Punkt des Einheitskreises als ${}(\cos x,\sin x)$ schreiben lässt, wobei man ${}x$ als Winkel interpretieren kann. Dabei tritt die Periode ${}2\pi$ auf, wobei wir die Kreiszahl ${}\pi$ eben über die trigonometrischen Funktionen einführen werden.