Tschebyschow-Polynom/Orthogonalsystem/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

${}\left\langle T_{n},T_{m}\right\rangle =\int _{-1}^{1}T_{n}(t)T_{m}(t){\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt\,.$

Mit der Substitution (vergleiche Fakt)  ${}t=\cos z$  kann man dies unter Verwendung von Fakt überführen in

${}\int _{0}^{\pi }T_{n}(\cos z)T_{m}(\cos z)dz=\int _{0}^{\pi }\cos \left(nz\right)\cos \left(mz\right)dz\,.$

Mit dem Additionstheorem für den Kosinus in der Form  ${}\cos \left(x+y\right)+\cos \left(x-y\right)=2\cos x\cos y$  kann man dies als

${\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }\cos \left((n+m)z\right)dz+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }\cos \left((n-m)z\right)dz.$

schreiben. Beide Integral sind gleich ${}0$, außer bei  ${}n=m$,  in diesem Fall ist bei  ${}n\geq 1$  das Ergebnis ${}\pi /2$ und bei  ${}n=0$  gleich ${}\pi$. Die Vollständigkeit ergibt sich aus dem Weierstrassschen Approximationssatz und aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage