Untere Halbkugel/Total differenzierbar/Kettenregel/Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$\phi :\{(x,y)\mid x^2+y^2<1\}⟶ℝ,(x,y)⟼1-\sqrt{1-x^2-y^2},$

aus Beispiel in einem beliebigen Punkt  $P=(x,y)$.  Wir schreiben die Abbildung als Hintereinanderschaltung von

$(x,y)⟼1-x^2-y^2\text{ und }u⟼1-\sqrt{u}.$

Die erste Funktion ist überall total differenzierbar mit der Jacobi-Matrix

$(-2x,-2y)$

und die zweite Funktion ist für  $u>0$  differenzierbar mit der Ableitung $\frac{-1}{2\sqrt{u}}$. Die Gesamtabbildung ist somit nach der Kettenregel ebenfalls total differenzierbar mit dem totalen Differential

$\frac{-1}{2\sqrt{1-x^2-y^2}}(-2x,-2y)=(\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}},\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}).$