Untere Halbkugel/Total differenzierbar/Kettenregel/Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$\varphi \colon {\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}<1\right\}}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 1-{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}},$

aus Beispiel in einem beliebigen Punkt ${}P=(x,y)$. Wir schreiben die Abbildung als Hintereinanderschaltung von

$(x,y)\longmapsto 1-x^{2}-y^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,u\longmapsto 1-{\sqrt {u}}.$

Die erste Funktion ist überall total differenzierbar mit der Jacobi-Matrix

$\left(-2x,\,-2y\right)$

und die zweite Funktion ist für ${}u>0$ differenzierbar mit der Ableitung ${}{\frac {-1}{2{\sqrt {u}}}}$. Die Gesamtabbildung ist somit nach der Kettenregel ebenfalls total differenzierbar mit dem totalen Differential

${\frac {-1}{2{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}\left(-2x,\,-2y\right)=\left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}},\,{\frac {y}{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}\right)\,.$