Vektorfeld/Stetig partiell differenzierbar in Raumrichtung/Lokal Lipschitz Bedingung/Fakt/Beweis

Beweis

Sei  $P=(t,v)=(t,v_1,\dots ,v_n)$ 

ein Punkt in $I\times U$ und sei

$U(t,ϵ)\times U(v,ϵ)$

eine offene Umgebung von $P$ innerhalb von $I\times U$ derart, dass auch

$B=B(t,ϵ)\times B(v,ϵ)\subseteq I\times U$

ist. Dieses $B$ ist eine abgeschlossene Umgebung von $P$ und daher kompakt. Da die partiellen Ableitungen $\frac{\partial f_i}{\partial v_j}$ nach Voraussetzung stetig sind, gibt es nach Fakt eine gemeinsame Schranke  $c\in ℝ$  mit

$\Vert \frac{\partial f_i}{\partial v_j}(Q)\Vert \le c$

für alle  $Q\in B$.  Daher gibt es für die Matrizen ${(\frac{\partial f_i}{\partial v_j}(Q))}_{1\le i,j\le n}$ eine Schranke $L$ mit

$\Vert {(\frac{\partial f_i}{\partial v_j}(Q))}_{1\le i,j\le n}\Vert \le L.$

Man kann daher zu jedem festen Zeitpunkt  $s\in U(t,ϵ)$  Fakt anwenden und erhält für  $u,u^{\prime }\in U(v,ϵ)$  die Abschätzung

$\Vert f(s,u)-f(s,u^{\prime })\Vert \le L\cdot \Vert u-u^{\prime }\Vert .$

Zur bewiesenen Aussage