Vektorfeld/Stetig partiell differenzierbar in Raumrichtung/Lokal Lipschitz Bedingung/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}P=(t,v)=(t,v_{1},\ldots ,v_{n})$ ein Punkt in ${}I\times U$ und sei

$U{\left(t,\epsilon \right)}\times U{\left(v,\epsilon \right)}$

eine offene Umgebung von ${}P$ innerhalb von ${}I\times U$ derart, dass auch

$B=B\left(t,\epsilon \right)\times B\left(v,\epsilon \right)\subseteq I\times U$

ist. Dieses ${}B$ ist eine abgeschlossene Umgebung von ${}P$ und daher kompakt. Da die partiellen Ableitungen ${}{\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}$ nach Voraussetzung stetig sind, gibt es nach Fakt eine gemeinsame Schranke ${}c\in \mathbb {R}$ mit

${}\Vert {{\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}(Q)}\Vert \leq c\,$

für alle ${}Q\in B$. Daher gibt es für die Matrizen ${}{\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}(Q)\right)}_{1\leq i,j\leq n}$ eine Schranke ${}L$ mit

${}\Vert {{\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}(Q)\right)}_{1\leq i,j\leq n}}\Vert \leq L\,.$

Man kann daher zu jedem festen Zeitpunkt ${}s\in U{\left(t,\epsilon \right)}$ Fakt anwenden und erhält für ${}u,u'\in U{\left(v,\epsilon \right)}$ die Abschätzung

${}\Vert {f(s,u)-f(s,u')}\Vert \leq L\cdot \Vert {u-u'}\Vert \,.$

Zur bewiesenen Aussage