Vektorfeld/Stetig partiell differenzierbar in Raumrichtung/Lokal Lipschitz Bedingung/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}P=(t,v)=(t,v_{1},\ldots ,v_{n})$ ein Punkt in ${}I\times U$ und sei

$U\left(t,\epsilon \right)\times U\left(v,\epsilon \right)$

eine offene Umgebung von ${}P$ innerhalb von ${}I\times U$ derart, dass auch

$B=B\left(t,\epsilon \right)\times B\left(v,\epsilon \right)\subseteq I\times U$

ist. Dieses ${}B$ ist eine abgeschlossene Umgebung von ${}P$ und daher kompakt. Da die partiellen Ableitungen ${}{\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}$ nach Voraussetzung stetig sind, gibt es nach Fakt eine gemeinsame Schranke ${}c\in \mathbb {R}$ mit

${}\mid \mid \!{\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}(Q)\!\mid \mid \leq c\,$

für alle ${}Q\in B$. Daher gibt es für die Matrizen ${}\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}(Q)\right)_{1\leq i,j\leq n}$ eine Schranke ${}L$ mit

${}\mid \mid \!\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}(Q)\right)_{1\leq i,j\leq n}\!\mid \mid \leq L\,.$

Man kann daher zu jedem festen Zeitpunkt ${}s\in U\left(t,\epsilon \right)$ Fakt anwenden und erhält für ${}u,u'\in U\left(v,\epsilon \right)$ die Abschätzung

${}\mid \mid \!f(s,u)-f(s,u')\!\mid \mid \leq L\cdot \mid \mid \!u-u'\!\mid \mid \,.$

Zur bewiesenen Aussage