Vektorräume/K/Skalarprodukt/Lineare Isometrie/Charakterisierung/Fakt

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}{\mathbb {K} }$, die mit einem Skalarprodukt versehen seien, und sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist eine Isometrie.
2. Für alle  ${}u,v\in V$  ist  ${}d(\varphi (u),\varphi (v))=d(u,v)$. 
3. Für alle  ${}v\in V$  ist  ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {v}\Vert$. 
4. Für alle  ${}v\in V$  mit  ${}\Vert {v}\Vert =1$  ist auch  ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =1$. 

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen