Vektorräume/K/Skalarprodukt/Lineare Isometrie/Charakterisierung/Fakt

Es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $𝕂$, die mit einem Skalarprodukt versehen seien, und sei $\phi :V\to W$ eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. $\phi$ ist eine Isometrie.
2. Für alle  $u,v\in V$  ist  $d(\phi (u),\phi (v))=d(u,v)$. 
3. Für alle  $v\in V$  ist  $\Vert \phi (v)\Vert =\Vert v\Vert$. 
4. Für alle  $v\in V$  mit  $\Vert v\Vert =1$  ist auch  $\Vert \phi (v)\Vert =1$. 

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen