Vektorraum/Endliche Familie/Eigenschaften der Einsetzungsabbildung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $v_1,\dots ,v_n$ eine Familie von Vektoren in $V$. Zeige, dass für die Abbildung

$\phi :K^n⟶V,(s_1,\dots ,s_n)⟼\sum _{i=1}^n{s}_i{v}_i,$

die folgenden Beziehungen gelten.

1. $\phi$ ist injektiv genau dann, wenn $v_1,\dots ,v_n$ linear unabhängig sind.
2. $\phi$ ist surjektiv genau dann, wenn $v_1,\dots ,v_n$ ein Erzeugendensystem von $V$ ist.
3. $\phi$ ist bijektiv genau dann, wenn $v_1,\dots ,v_n$ eine Basis ist.

Eine Lösung erstellen