Vektorraum/I nach K/Fast alle null/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, sei $I$ eine Indexmenge, und  $K^I=\mathrm{Abb}(I,K)$  der zugehörige Vektorraum.

a) Zeige, dass

$E=\{f\in K^I\mid f(i)=0\text{ für alle }i\in I\text{ bis auf endlich viele Ausnahmen}\}$

ein Untervektorraum von $K^I$ ist.

b) Zu jedem  $i\in I$  sei  $e_i\in K^I$  durch

$e_i(j)=\{\begin{array}{c}1,\text{ falls }j=i,\\ 0\text{ sonst},\end{array}$

gegeben. Man zeige, dass sich jedes Element  $f\in E$  eindeutig als Linearkombination der Familie $e_i$, $i\in I$, darstellen lässt.

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