Vektorraum/Körperwechsel/Erzeugendensystem/Basis/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren aus ${}V$. Zeige die folgende Aussagen.

1. Die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ist genau dann ein ${}K$-Erzeugendensystem von ${}V$, wenn ${}1\otimes v_{i}$, ${}i\in I$, ein ${}L$-Erzeugendensystem von ${}L\otimes V$ ist.
2. Die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ist genau dann ${}K$-linear unabhängig (über ${}K$) in ${}V$, wenn ${}1\otimes v_{i}$, ${}i\in I$, linear unabhängig (über ${}L$) in ${}L\otimes V$ ist.
3. Die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ist genau dann eine ${}K$-Basis von ${}V$, wenn ${}1\otimes v_{i}$, ${}i\in I$, eine ${}L$-Basis von ${}L\otimes V$ ist.

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