Es sei V {\displaystyle {}V} ein Vektorraum über einem Körper K {\displaystyle {}K} und sei
eine Verknüpfung auf V {\displaystyle {}V} . Man nennt ( V , [ − , − ] ) {\displaystyle {}(V,[-,-])} eine Lie-Algebra, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind.
ein
Vektorraum
über einem
Körper
und sei
![{\displaystyle V\times V\longrightarrow V,\,(f,g)\longmapsto [f,g],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b295eb8065d354e552e45d6d72cc4381aa1b841a)
. Man nennt ![{\displaystyle {}(V,[-,-])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02830b012c12fab9bbf64ff90ed6e8375e236119)
eine
Lie-Algebra,
wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind.
![{\displaystyle {}[-,-]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5ec136d43efe13d19ebd19d58cde83c0899aa5)
ist
bilinear.
erfüllt die sogenannte Jacobi-Identität, d.h. für
gilt
![{\displaystyle {}[[u,v],w]+[[v,w],u]+[[w,u],v]=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4495a1cec5e57c9b5ba7be06845044513264d236)
![{\displaystyle {}[v,v]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f9f56c784fb99f71d67b08a028472970ac97c08)
für alle
.
