Vektorraum/Lie-Algebra/Definition

Lie-Algebra

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ und sei

$V\times V⟶V,(f,g)⟼[f,g],$

eine Verknüpfung auf $V$. Man nennt $(V,[-,-])$ eine Lie-Algebra, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind.

1. $[-,-]$ ist bilinear.
2. $[-,-]$ erfüllt die sogenannte Jacobi-Identität, d.h. für  $u,v,w\in V$  gilt

   $[[u,v],w]+[[v,w],u]+[[w,u],v]=0.$

3. Es ist  $[v,v]=0$  für alle  $v\in V$.