Vektorraum/Tensorprodukt/Erzeugendensystem/Basis/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Nach Konstruktion bilden die zerlegbaren Tensoren ${}v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}$ ein Erzeugendensystem des Tensorproduktes. Somit muss man nur von diesen nachweisen, dass sie als Linearkombination der gegebenen Familie darstellbar sind. Dies ergibt sich aber aus Fakt  (3).

(2). Zum Beweis können wir uns auf endliche Familien beschränken. Wir wollen Fakt anwenden. Es sei ${}(r_{1},\ldots ,r_{n})$ fixiert. Wegen der linearen Unabhängigkeit der Familien ${}v_{ij}$ in ${}V_{i}$ gibt es Linearformen

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow K$

mit ${}\varphi _{i}(v_{ir_{i}})\neq 0$ und ${}\varphi _{i}(v_{ij})=0$ für ${}j\neq r_{i}$. Somit ist

$V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow K,\,(w_{1},\ldots ,w_{n})\longmapsto \varphi _{1}(w_{1})\cdots \varphi _{n}(w_{n}),$

nach Aufgabe eine multilineare Abbildung. Die gemäß Fakt zugehörige lineare Abbildung

$V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\longrightarrow K$

schickt ${}v_{1r_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{nr_{n}}$ auf

${}\varphi _{1}(v_{1r_{1}})\cdots \varphi _{n}(v_{nr_{n}})\neq 0\,$

und alle anderen Elemente ${}v_{1j_{1}}\cdots v_{nj_{n}}$ der Familie auf ${}0$.

(3) folgt aus (1) und (2).

Zur bewiesenen Aussage