Vektorraum/Tensorprodukt/Erzeugendensystem/Basis/Fakt/Beweis

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Beweis

(1). Nach Konstruktion bilden die zerlegbaren Tensoren ein Erzeugendensystem des Tensorproduktes. Somit muss man nur von diesen nachweisen, dass sie als Linearkombination der gegebenen Familie darstellbar sind. Dies ergibt sich aber aus Fakt  (3).

(2). Zum Beweis können wir uns auf endliche Familien beschränken. Wir wollen Fakt anwenden. Sei fixiert. Wegen der linearen Unabhängigkeit der Familien in gibt es Linearformen

mit und für . Somit ist

nach Aufgabe eine multilineare Abbildung. Die gemäß Fakt zugehörige lineare Abbildung

schickt auf

und alle anderen Elemente der Familie auf .

(3) folgt aus (1) und (2).

Zur bewiesenen Aussage