Vektorraum/n Vektoren/Äquivalenzrelation durch gleichen Unterraum/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}m\in \mathbb {N}$. Betrachte auf der Produktmenge ${}V^{m}$ die folgende Relation.

$(v_{1},\ldots ,v_{m})\sim (w_{1},\ldots ,w_{m}),{\text{ falls }}\langle v_{1},\ldots ,v_{m}\rangle =\langle w_{1},\ldots ,w_{m}\rangle$

Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist. Man gebe eine Bijektion zwischen der zugehörigen Quotientenmenge und der Menge der Unterräume von ${}V$ der Dimension ${}\leq m$ an. Zeige ferner, dass zwei Tupel ${}(v_{1},\ldots ,v_{m})$ und ${}(w_{1},\ldots ,w_{m})$ genau dann in dieser Relation zueinander stehen, wenn es eine invertierbare ${}m\times m$-Matrix ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m}(K)$ gibt mit

${}v_{i}=\sum _{j=1}^{m}a_{ij}w_{j}\,$

für alle ${}i$.

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