Windschiefe Geraden/R^3/Abstand/Beispiel

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Zwei (affine) Geraden heißen windschief, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben und auch nicht parallel sind, ihre Richtungsvektoren also nicht linear abhängig sind. Dann erzeugen die Richtungsvektoren eine Ebene, und auf dieser Ebene steht ein (bis auf Streckung eindeutiger) Vektor senkrecht. Einen solchen normierten Vektor, den Normalenvektor, kann man mit dem Kreuzprodukt berechnen. Sei

und

Wir können die Situation verschieben und somit

annehmen. Sei

Das Quadrat des Abstandes zwischen zwei Punkten

und

ist

Diesen Ausdruck kann man mit Mitteln der Analysis 2 interpretieren. Wir betrachten die durch die Geraden gegebenen Daten als fixierte Parameter, so dass ein reellwertiger funktionaler Ausdruck in den beiden reellen Variablen und vorliegt, für den Extrema zu bestimmen sind. Die partiellen Ableitungen sind

und

Wenn wir diese gleich setzen, so erhalten wir ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in den Variablen und . Mit der Cramerschen Regel erhält man

und