Zahlbereich/Beträge/Körpererweiterung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten zuerst den nichtarchimedischen Fall, es sei also ${}\mathbb {Z} \subseteq R\subseteq S$ die zugehörige Erweiterung der Zahlbereiche und es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein maximales Ideal von ${}R$ und seien ${}{\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}$ die Primideale oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$. Es seien ${}e,f,e_{j},f_{j}$ Verzweigungsindex und Trägheitsgrad von ${}{\mathfrak {p}}$ über

${}(p)=\mathbb {Z} \cap {\mathfrak {p}}\,$

bzw. von ${}{\mathfrak {q}}_{j}$ über ${}{\mathfrak {p}}$. Dann sind die Verzweigungsindexe bzw. Trägheitsgrade von ${}{\mathfrak {q}}_{j}$ über ${}(p)$ gleich ${}ee_{j}$ bzw. ${}ff_{j}$. Daher ist

${}{\begin{aligned}\sum _{w\in M_{L},\,w{\text{ über }}v}n_{w}&=\sum _{j=1}^{k}n_{{\mathfrak {q}}_{j}}\\&=\sum _{j=1}^{k}ee_{j}ff_{j}\\&=ef\sum _{j=1}^{k}e_{j}f_{j}\\&=n_{\mathfrak {p}}\operatorname {grad} _{K}L\\&=n_{v}\operatorname {grad} _{K}L\end{aligned}}$

unter Verwendung von Fakt.

Zur bewiesenen Aussage