Zahlbereich/Beträge/Produktformel/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können ${}x\in R$ annehmen. Es sei

{}(x)={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,

Es gilt

{}\vert {N(x)}\vert =N{\left({\mathfrak {p}}_{1}\right)}^{r_{1}}\cdots N{\left({\mathfrak {p}}_{k}\right)}^{r_{k}}\,

nach Fakt und Fakt. Es ist (vergleiche Bemerkung)

{}{\begin{aligned}\prod _{v\in M_{K}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}&=\prod _{v\in M_{K}{\text{ archimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\cdot \prod _{v\in M_{K}{\text{ nichtarchimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\\&=\prod _{v\in M_{K}{\text{ archimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\cdot \prod _{j=1}^{k}\vert {x}\vert _{{\mathfrak {p}}_{j}}^{e_{j}f_{j}}\\&=\prod _{v\in M_{K}{\text{ archimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\cdot \prod _{j=1}^{k}N{\left({\mathfrak {p}}_{j}\right)}^{-r_{j}}\\&=\prod _{v\in M_{K}{\text{ archimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\cdot \vert {N{\left(x\right)}}\vert ^{-1}.\end{aligned}}

Nach Fakt ist aber auch

{}\vert {N(x)}\vert =\prod _{j}\vert {L_{j}(x)}\vert =\prod _{v\in M_{K}{\text{ archimedisch}}}\vert {x}\vert _{v}^{n_{v}}\,,

wobei ${}L_{j}$ die verschiedenen reellen und komplexen Einbettungen von ${}K$ durchläuft.