Zahlbereich/Bewertung/Betrag/Normierungen/Bemerkung

Die gewählte Basis ${}a$ in Fakt spielt dabei für die topologischen Eigenschaften des Betrags keine wesentliche Rolle. Um aber ein sinnvolles funktorielles (bezüglich von endlichen Körpererweiterungen) Verhalten zu erhalten, sind verschiedene Normierungen sinnvoll. Die wichtigsten Möglichkeiten sind die folgenden, wobei wir die Notation von Fakt übernehmen und wobei ${}N{\left({\mathfrak {p}}\right)}$ die Norm von ${}{\mathfrak {p}}$ bezeichnet, also die Anzahl der Elemente im Restklassenkörper ${}R/{\mathfrak {p}}$.

1. ${}\vert {h}\vert _{{\mathfrak {p}},{\text{ nat}}}:=N{\left({\mathfrak {p}}\right)}^{-\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(h)}\,.$

   Dies ist wohl der natürlichste Betrag.

2. ${}\vert {h}\vert _{\mathfrak {p}}:=N{\left({\mathfrak {p}}\right)}^{-\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(h)/e({\mathfrak {p}})f({\mathfrak {p}})}\,,$

   wobei  ${}e=e({\mathfrak {p}})$  den Verzweigungsindex und  ${}f=f({\mathfrak {p}})$  Trägheitsgrad von ${}{\mathfrak {p}}$ über  ${}(p)=\mathbb {Z} \cap {\mathfrak {p}}$  bezeichnet. Diese Normierung besitzt den Vorteil, dass die Einschränkung dieses Betrages auf ${}\mathbb {Q}$ den nichtarchimedischen Standardbetrag

   ${}\vert {h}\vert _{p}=p^{-\operatorname {ord} _{p}\,(h)}\,$

   ergibt, es sich also um eine Ausdehnung eines rationalen Standardbetrages handelt. Mit  ${}h=gp^{\alpha }$  in ${}\mathbb {Q}$,  ${}\alpha \in \mathbb {Z}$,   ${}\operatorname {ord} _{p}\,(g)=0$,  ist ja  ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(p)=e$  und  ${}N{\left({\mathfrak {p}}\right)}=p^{f}$  und somit

   ${}{\begin{aligned}\vert {h}\vert _{\mathfrak {p}}&:=N{\left({\mathfrak {p}}\right)}^{\frac {-\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(gp^{\alpha })}{ef}}\\&=N{\left({\mathfrak {p}}\right)}^{\frac {-\alpha \operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(p)}{ef}}\\&={\left(p^{f}\right)}^{\frac {-\alpha e}{ef}}\\&=p^{-\alpha }.\end{aligned}}$

   Zwischen dem natürlichen Betrag aus (1) und dem Standardbetrag aus (2) besteht somit insbesondere der Zusammenhang

   ${}\vert {h}\vert _{{\mathfrak {p}}{\text{ nat}}}=\vert {h}\vert _{\mathfrak {p}}^{ef}=\vert {h}\vert _{\mathfrak {p}}^{n_{\mathfrak {p}}}\,,$

   wobei wir eben

   ${}n_{\mathfrak {p}}=ef\,$

   setzen. Diese Zahl stimmt mit dem sogenannten lokalen Grad überein.

3. Der absolute Betrag ist

   ${}\vert {h}\vert _{{\mathfrak {p}}{\text{ abs}}}:=N{\left({\mathfrak {p}}\right)}^{-\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(h)/\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}\,.$

   Diese Normierung berücksichtigt, dass über dem Primideal ${}(p)$ aus ${}\mathbb {Z}$ in ${}R$ mehrere Primideale ${}{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{k}$ liegen, die jeweils zu Beträgen in ${}K$ Anlass geben und sich sozusagen der eine standardisierte Betrag ${}\vert {-}\vert _{p}$ auf mehrere Beträge verteilt. Nach Fakt gilt dabei

   ${}\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K=\sum _{j=1}^{k}e_{j}f_{j}\,.$

   Somit ist, wieder mit  ${}h=gp^{\alpha }$  wie oben,

   ${}{\begin{aligned}\prod _{j=1}^{k}\vert {h}\vert _{{\mathfrak {p}}_{j}{\text{ abs}}}&=\prod _{j=1}^{k}N{\left({\mathfrak {p}}_{j}\right)}^{\frac {-\operatorname {ord} _{{\mathfrak {p}}_{j}}\,(h)}{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}}\\&=\prod _{j=1}^{k}{\left(p^{f_{j}}\right)}^{\frac {-\operatorname {ord} _{{\mathfrak {p}}_{j}}\,(p^{\alpha })}{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}}\\&=\prod _{j=1}^{k}{\left(p^{f_{j}}\right)}^{\frac {-\alpha e_{j}}{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}}\\&=\prod _{j=1}^{k}p^{\frac {-\alpha e_{j}f_{j}}{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}}\\&=p^{\frac {-\alpha \sum _{j=1}^{k}e_{j}f_{j}}{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}}\\&=p^{-\alpha }\\&=\vert {h}\vert _{p}.\end{aligned}}$