Zahlbereich/Bewertung/Betrag/Normierungen/Bemerkung

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Die gewählte Basis in Fakt spielt dabei für die topologischen Eigenschaften des Betrags keine wesentliche Rolle. Um aber ein sinnvolles funktorielles (bezüglich von endlichen Körpererweiterungen) Verhalten zu erhalten, sind verschiedene Normierungen sinnvoll. Die wichtigsten Möglichkeiten sind die folgenden, wobei wir die Notation von Fakt übernehmen und wobei die Norm von bezeichnet, also die Anzahl der Elemente im Restklassenkörper .

  1. Dies ist wohl der natürlichste Betrag.

  2. wobei den Verzweigungsindex und Trägheitsgrad von über bezeichnet. Diese Normierung besitzt den Vorteil, dass die Einschränkung dieses Betrages auf den nichtarchimedischen Standardbetrag

    ergibt, es sich also um eine Ausdehnung eines rationalen Standardbetrages handelt. Mit in , , , ist ja und und somit

    Zwischen dem natürlichen Betrag aus (1) und dem Standardbetrag aus (2) besteht somit insbesondere der Zusammenhang

    wobei wir eben

    setzen. Diese Zahl stimmt mit dem sogenannten lokalen Grad überein.

  3. Der absolute Betrag ist

    Diese Normierung berücksichtigt, dass über dem Primideal aus in mehrere Primideale liegen, die jeweils zu Beträgen in Anlass geben und sich sozusagen der eine standardisierte Betrag auf mehrere Beträge verteilt. Nach Fakt gilt dabei

    Somit ist, wieder mit wie oben,