Die gewählte Basis in
Fakt
spielt dabei für die topologischen Eigenschaften des Betrags keine wesentliche Rolle. Um aber ein sinnvolles funktorielles
(bezüglich von endlichen Körpererweiterungen)
Verhalten zu erhalten, sind verschiedene Normierungen sinnvoll. Die wichtigsten Möglichkeiten sind die folgenden, wobei wir die Notation von
Fakt
übernehmen und wobei die
Norm
von bezeichnet, also die Anzahl der Elemente im Restklassenkörper .
-
-
Dies ist wohl der natürlichste Betrag.
-
wobei
den
Verzweigungsindex
und
Trägheitsgrad
von über
bezeichnet. Diese Normierung besitzt den Vorteil, dass die Einschränkung dieses Betrages auf den nichtarchimedischen Standardbetrag
-
ergibt, es sich also um eine Ausdehnung eines rationalen Standardbetrages handelt. Mit
in ,
,
,
ist ja
und
und somit
Zwischen dem natürlichen Betrag aus (1) und dem Standardbetrag aus (2) besteht somit insbesondere der Zusammenhang
-
wobei wir eben
-
setzen. Diese Zahl stimmt mit dem sogenannten
lokalen Grad
überein.
- Der absolute Betrag ist
-
Diese Normierung berücksichtigt, dass über dem Primideal aus in mehrere Primideale liegen, die jeweils zu Beträgen in Anlass geben und sich sozusagen der eine standardisierte Betrag auf mehrere Beträge verteilt. Nach
Fakt
gilt dabei
-
Somit ist, wieder mit
wie oben,