Zahlbereich/Dirichletscher Einheitensatz/Fakt/Beweis

Beweis

L\colon R^{\times }\longrightarrow \mathbb {R} ^{r+s}

hat nach Fakt den Kern

{}\mu =\mu _{}{\left(R\right)}\,

und das Bild ${}L(R^{\times })$ ist eine diskrete Untergruppe von

{}H={\left\{(v_{1},\ldots ,v_{r+s})\mid \sum _{j=1}^{r+s}v_{j}=0\right\}}\subset \mathbb {R} ^{r+s}\,.

Unter der Faktorisierung

R^{\times }{\stackrel {\tau ^{\mathbb {R} }}{\longrightarrow }}{\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{r}\times {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{s}{\stackrel {\ell }{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{s}

mit ${}\ell =(\ln \vert {-}\vert ,2\ln \vert {-}\vert )$ ist die Menge

U={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{r};z_{r+1},\ldots ,z_{r+s})\in \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\mid \vert {x_{1}}\vert \cdots \vert {x_{r}}\vert \cdot \vert {z_{r+1}}\vert ^{2}\cdots \vert {z_{r+s}}\vert ^{2}=1\right\}}\,

aus Fakt das Urbild von ${}H$ . Die Überdeckung

{}U=\bigcup _{u\in R^{\times }}T\cdot \tau ^{\mathbb {R} }(u)\,

mit einer beschränkten Teilmenge ${}T\subseteq U$ , die es nach Fakt gibt, übersetzt sich zu

{}H=\bigcup _{u\in R^{\times }}\ell (T)+L(u)\,.

Da ${}\ell (T)$ ebenfalls beschränkt ist, folgt aus Aufgabe, dass die Bildgruppe ${}L(R^{\times })$ ein Gitter in ${}H$ ist.

Es liegt also eine kurze exakte Sequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mu _{}{\left(R\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,L(R^{\times })\cong \mathbb {Z} ^{r+s-1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0

vor. Indem man für die Standardvektoren rechts Urbilder in ${}R^{\times }$ wählt, erhält man auch eine Darstellung

{}R^{\times }\cong \mu _{}{\left(R\right)}\times \mathbb {Z} ^{r+s-1}\,.