Zahlbereich/Logarithmische Gesamtabbildung/Grundlegende Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}R$ der Ganzheitsring zu einer endlichen Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ mit ${}r$ reellen Einbettungen und ${}s$ Paaren von komplexen Einbettungen.

Dann besitzt die logarithmische Gesamtabbildung

$L\colon K^{\times }\longrightarrow \mathbb {R} ^{r+s}$

die folgenden Eigenschaften.

1. Der Kern von ${}L$ eingeschränkt auf ${}R^{\times }$ ist die Gruppe der Einheitswurzeln ${}\mu _{}{\left(R\right)}$ und insbesondere eine endliche zyklische Gruppe.
2. Das Bild ${}L(R^{\times })$ liegt in der Hyperebene ${}H={\left\{(v_{1},\ldots ,v_{r+s})\mid \sum _{j=1}^{r+s}v_{j}=0\right\}}\subset \mathbb {R} ^{r+s}$.
3. Das Bild ${}L(R^{\times })$ ist eine diskrete Untergruppe von ${}H\subset \mathbb {R} ^{r+s}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen