Zahlbereich/Divisorenklassengruppe/Charakterisierung von faktoriell/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Implikation folgt aus Fakt.

. Sei also faktoriell, und sei ein Primideal . Sei , , mit Primfaktorzerlegung . Da ein Primideal ist, muss einer der Primfaktoren zu gehören, sagen wir . Dann ist . Das von erzeugte Ideal ist ein Primideal, und in einem Zahlbereich ist nach Fakt jedes von verschiedene Primideal maximal, so dass hier gelten muss. Auf der Seite der Divisoren gilt aufgrund von Fakt , so dass ein Hauptdivisor vorliegt. Also sind alle Erzeuger der Divisorengruppe Hauptdivisoren und somit ist überhaupt

und die Divisorenklassengruppe ist trivial.

. Sei nun vorausgesetzt. Wir zeigen zunächst, dass jedes Primideal ein Hauptideal ist. Nach Voraussetzung ist der Divisor ein Hauptdivisor, so dass mit einem gilt. Aufgrund von Fakt entspricht dies auf der Idealseite der Gleichung , so dass jedes Primideal ein Hauptideal ist. Für ein beliebiges Ideal , , ist nach Fakt

Dies bedeutet aber, mit , dass ein Hauptideal ist, das von erzeugt wird. Also liegt ein Hauptidealbereich vor.

Zur bewiesenen Aussage