Beweis
Die Implikation folgt aus
Fakt.
. Es sei also
faktoriell,
und sei ein
Primideal
. Sei
,
,
mit Primfaktorzerlegung
.
Da ein Primideal ist, muss einer der Primfaktoren zu gehören, sagen wir
.
Dann ist
.
Das von erzeugte Ideal ist ein Primideal, und in einem Zahlbereich ist
nach Fakt
jedes von verschiedene Primideal
maximal,
sodass hier
gelten muss. Auf der Seite der Divisoren gilt aufgrund von
Fakt
,
sodass ein Hauptdivisor vorliegt. Also sind alle Erzeuger der Divisorengruppe Hauptdivisoren und somit ist überhaupt
-
und die
Divisorenklassengruppe
ist trivial.
. Es sei nun
vorausgesetzt. Wir zeigen zunächst, dass jedes Primideal
ein Hauptideal ist. Nach Voraussetzung ist der Divisor ein Hauptdivisor, sodass
mit einem
gilt. Aufgrund von
Fakt
entspricht dies auf der Idealseite der Gleichung
,
sodass jedes Primideal ein Hauptideal ist. Für ein beliebiges Ideal
, ,
ist nach
Fakt
-
Dies bedeutet aber, mit
,
dass ein Hauptideal ist, das von erzeugt wird. Also liegt ein Hauptidealbereich vor.