Zahlbereich/Divisorenklassengruppe/Charakterisierung von faktoriell/Fakt/Beweis

Beweis

Die Implikation $(1)\Rightarrow (2)$ folgt aus Fakt.

$(2)\Rightarrow (3)$. Es sei also $R$ faktoriell, und sei $𝔭$ ein Primideal $\ne 0$. Sei  $f\in 𝔭$,   $f\ne 0$,  mit Primfaktorzerlegung  $f=p_1\cdots p_s$.  Da $𝔭$ ein Primideal ist, muss einer der Primfaktoren zu $𝔭$ gehören, sagen wir  $p=p_1\in 𝔭$.  Dann ist  $(p)\subseteq 𝔭$.  Das von $p$ erzeugte Ideal ist ein Primideal, und in einem Zahlbereich ist nach Fakt jedes von $0$ verschiedene Primideal maximal, sodass hier  $(p)=𝔭$  gelten muss. Auf der Seite der Divisoren gilt aufgrund von Fakt  $\mathrm{div}\left(p\right)=1𝔭$,  sodass ein Hauptdivisor vorliegt. Also sind alle Erzeuger der Divisorengruppe Hauptdivisoren und somit ist überhaupt

$\mathrm{Div}(R)=H$

und die Divisorenklassengruppe ist trivial.

$(3)\Rightarrow (1)$. Es sei nun  $\mathrm{DKG}\left(R\right)=0$  vorausgesetzt. Wir zeigen zunächst, dass jedes Primideal  $𝔭\ne 0$  ein Hauptideal ist. Nach Voraussetzung ist der Divisor $𝔭$ ein Hauptdivisor, sodass  $𝔭=\mathrm{div}(p)$  mit einem  $p\in R$  gilt. Aufgrund von Fakt entspricht dies auf der Idealseite der Gleichung  $𝔭=(p)$,  sodass jedes Primideal ein Hauptideal ist. Für ein beliebiges Ideal $𝔞\subseteq R$, $𝔞\ne 0$, ist nach Fakt

$𝔞={𝔭}_1^{r_1}\cdots {𝔭}_k^{r_k}.$

Dies bedeutet aber, mit  ${𝔭}_i=(p_i)$,  dass $𝔞$ ein Hauptideal ist, das von $p_1^{r_1}\cdots p_k^{r_k}$ erzeugt wird. Also liegt ein Hauptidealbereich vor.

Zur bewiesenen Aussage