Zahlbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Zerlegungseigenschaft/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $𝔭$ nicht verzweigt und sei $𝔮$ ein Primideal oberhalb von $𝔭$. Nehmen wir an, dass $𝔭$ unzerlegt ist, dass also $𝔮$ das einzige Primideal darüber ist. Dann liegt nach Fakt  (3) ein Gruppenisomorphismus

$G=G_{𝔮}⟶\mathrm{Gal}(\kappa (𝔮)/\kappa (𝔭))$

vor. Da die Gruppe rechts nach Fakt bzw. nach Fakt zyklisch ist, ergibt sich ein Widerspruch zur Voraussetzung.

Zur bewiesenen Aussage