Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Fakt/Beweis

Beweis

Wir haben die Zusammenstellung zu allen komplexen Einbettungen

$\tau \colon R\longrightarrow {\mathbb {C} }^{r+2s}$

und die reelle Gittereinbettung

$\tau ^{\mathbb {R} }\colon R\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s},$

die durch die Einbettung

$\mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{r+2s},\,(x_{1},\ldots ,x_{r};z_{1},\ldots ,z_{s})\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{r};z_{1},{\overline {z_{1}}},\ldots ,z_{s},{\overline {z_{s}}})$

miteinander verbunden sind.

Zu einer ${}\mathbb {Q}$-Basis ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ von ${}Q(R)$ haben wir einerseits die reelle Ganzheitsmatrix

${\begin{pmatrix}\rho _{1}(b_{1})&\rho _{1}(b_{2})&\ldots &\ldots &\rho _{1}(b_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\rho _{r}(b_{1})&\rho _{r}(b_{2})&\ldots &\ldots &\rho _{r}(b_{n})\\\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{1}(b_{1})\right)}&\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{1}(b_{2})\right)}&\ldots &\ldots &\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{1}(b_{n})\right)}\\\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{1}(b_{1})\right)}&\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{1}(b_{2})\right)}&\ldots &\ldots &\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{1}(b_{n})\right)}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{s}(b_{1})\right)}&\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{s}(b_{2})\right)}&\ldots &\ldots &\operatorname {Re} \,{\left(\sigma _{s}(b_{n})\right)}\\\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{s}(b_{1})\right)}&\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{s}(b_{2})\right)}&\ldots &\ldots &\operatorname {Im} \,{\left(\sigma _{s}(b_{n})\right)}\end{pmatrix}}$

und andererseits die komplexe Ganzheitsmatrix

${\begin{pmatrix}\rho _{1}(b_{1})&\rho _{1}(b_{2})&\ldots &\ldots &\rho _{1}(b_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\rho _{r}(b_{1})&\rho _{r}(b_{2})&\ldots &\ldots &\rho _{r}(b_{n})\\\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\ldots &\ldots &\sigma _{1}(b_{n})\\{\overline {\sigma }}_{1}(b_{1})&{\overline {\sigma }}_{1}(b_{2})&\ldots &\ldots &{\overline {\sigma }}_{1}(b_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\sigma _{s}(b_{1})&\sigma _{s}(b_{2})&\ldots &\ldots &\sigma _{s}(b_{n})\\{\overline {\sigma }}_{s}(b_{1})&{\overline {\sigma }}_{s}(b_{2})&\ldots &\ldots &{\overline {\sigma }}_{s}(b_{n})\end{pmatrix}}.$

Wenn man diese komplexe Matrix mit der Matrix (diese steht links)

${\begin{pmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&1&&&&&\\&&&1&1&&&\\&&&-{\mathrm {i} }&{\mathrm {i} }&&&\\&&&&&1&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{pmatrix}}$

multipliziert, wobei der quadratische Block sich auf ${}\sigma _{j}$ und ${}{\overline {\sigma }}_{j}$ bezieht, so erhält man in der Zeile zu ${}\sigma _{j}$ das Doppelte des Realteils von ${}\sigma _{j}$ und in der darauf folgenden Zeile das Doppelte des Imaginärteils von ${}\sigma _{j}$. Die Determinante der zuletzt notierten Matrix ist ${}2{\mathrm {i} }$. Wenn man diese Multiplikation für jede komplexe Doppelzeile durchführt (${}s$ Multiplikationen), so erhält man die Matrix, die aus der reellen Ganhzeitsmatrix hervorgeht, indem man die hinteren ${}2s$ Zeilen jeweils mit ${}2$ multipliziert. Deshalb gilt insgesamt

${}2^{2s}{\left(\det \left(\tau _{j}^{\mathbb {R} }(b_{k})\right)\right)}=2^{s}{\mathrm {i} }^{s}{\left(\det \left(\tau _{j}(b_{k})\right)\right)}\,.$

Nach Fakt und Fakt ist

${}{\begin{aligned}{\sqrt {\vert {\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})}\vert }}&=\vert {\left(\det \left(\tau _{j}(b_{k})\right)\right)}\vert \\&=2^{s}{\left(\det \left(\tau _{j}^{\mathbb {R} }(b_{k})\right)\right)}\\&=2^{s}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}}).\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage