Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Imaginär-quadratischer Fall/Beispiel

Es sei  ${}D<0$  quadratfrei und ${}A_{D}$ der zugehörige imaginär-quadratische Zahlbereich. Es gibt also  ${}s=1$  Paare von zueinander komplex-konjugierten Einbettungen. Zur Ganzheitsbasis ${}1,{\sqrt {D}}$ bei  ${}D=2,3\mod 4$  bzw. ${}1,{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ bei  ${}D=1\mod 4$  gehört wie in Beispiel berechnet die reelle Ganzheitsmatrix

${\begin{pmatrix}1&0\\0&{\sqrt {\vert {D}\vert }}\end{pmatrix}}$

bzw.

${\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\end{pmatrix}}.$

Deren Determinante, also bis auf das Vorzeichen der Flächeninhalt der Grundmasche des Gitters, ist

${}\det {\begin{pmatrix}1&0\\0&{\sqrt {\vert {D}\vert }}\end{pmatrix}}={\sqrt {\vert {D}\vert }}\,$

bzw.

${}\det {\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\end{pmatrix}}={\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\,.$

Die Diskriminante ist nach Fakt gleich ${}4D$ bzw. ${}D$. In beiden Fällen erhält man also eine direkte Bestätigung von Fakt.