Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Reell-quadratischer Fall/Beispiel

Es sei  ${}D>2$  quadratfrei und ${}A_{D}$ der zugehörige reell-quadratische Zahlbereich. Es gibt also zwei reelle Einbettungen und somit ist  ${}s=0$.  Zur Ganzheitsbasis ${}1,{\sqrt {D}}$ bei  ${}D=2,3\mod 4$  bzw. ${}1,{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ bei  ${}D=1\mod 4$  gehört wie in Beispiel berechnet die reelle Ganzheitsmatrix

${\begin{pmatrix}1&{\sqrt {D}}\\1&-{\sqrt {D}}\end{pmatrix}}$

bzw.

${\begin{pmatrix}1&{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\\1&{\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}\end{pmatrix}}$

Deren Determinante ist

${}\det {\begin{pmatrix}1&{\sqrt {D}}\\1&-{\sqrt {D}}\end{pmatrix}}=-2{\sqrt {D}}\,$

bzw.

${}\det {\begin{pmatrix}1&{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\\1&{\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}\end{pmatrix}}={\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}-{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}=-{\sqrt {D}}\,.$

Die Diskriminante ist nach Fakt gleich ${}4D$ bzw. ${}D$. In beiden Fällen erhält man also eine direkte Bestätigung von Fakt.