Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primideale unterhalb von Normschranke Hauptideale/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal ${}\neq 0$ unterhalb der angegebenen Normschranke. Nach Fakt ist ${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}$ mit Primidealen ${}{\mathfrak {p}}_{i}$, und wegen Fakt sind die Normen dieser Primideale ebenfalls unter der Schranke. Da all diese Primideale nach Voraussetzung Hauptideale sind, ist auch ${}{\mathfrak {a}}$ ein Hauptideal. Da nach Fakt jede Idealklasse durch ein Ideal unterhalb der Normschranke repräsentiert wird, bedeutet dies, dass jede Idealklasse durch ein Hauptideal repräsentiert wird. Das heißt die Klassengruppe ist trivial und damit ist nach Fakt der Ring ${}R$ faktoriell.

Zur bewiesenen Aussage