Zahlbereich/Logarithmische Gesamtabbildung/Grundlegende Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Für ${}L$ liegt die Faktorisierung

   $R^{\times }{\stackrel {\tau ^{\mathbb {R} }}{\longrightarrow }}\Gamma \setminus \{0\}{\stackrel {\ell }{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{r+s}$

   vor. Ein Element ${}f\in K^{\times }$ wird genau dann unter ${}L$ auf den Nullvektor abgebildet, wenn ${}\tau (f)$ in jeder reellen oder komplexen Komponente den Betrag ${}1$ besitzt. Diese Elemente liegen somit alle in einer beschränkten Teilmenge von ${}\mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}$ aber ja auch im Gitter ${}\Gamma$. Daher ist diese Menge endlich und daher ist wegen der Injektivität von ${}\tau$ auch die zugrunde liegende Menge in ${}R$ endlich. Also haben diese Elemente endliche Ordnung und sind Einheitswurzeln. Umgekehrt ist ein Torsionselement der Einheitengruppe von ${}R$ in jeder Einbettung ein Torsionselement und hat daher den Betrag ${}1$, wird also unter ${}L$ auf ${}0$ abgebildet.

2. Sei ${}f\in R^{\times }$ eine Einheit und sei

   $(\rho _{1}(f),\ldots ,\rho _{r}(f);\sigma _{r+1}(f),{\overline {\sigma _{r+1}}}(f),\ldots ,\sigma _{r+s}(f),{\overline {\sigma _{r+s}}}(f)$

   das totale komplexe Einbettungstupel. Nach Fakt ist die Norm von ${}f$ gleich

   ${}{\begin{aligned}\rho _{1}(f)\cdots \rho _{r}(f)\sigma _{r+1}(f)\cdot {\overline {\sigma _{r+1}}}(f)\cdots \sigma _{r+s}(f)\cdot {\overline {\sigma _{r+s}}}(f)&=\rho _{1}(f)\cdots \rho _{r}(f)\vert {\sigma _{r+1}(f)}\vert ^{2}\cdots \vert {\sigma _{r+s}(f)}\vert ^{2}\\\end{aligned}}$

   Nach Fakt ist der Betrag davon gleich ${}1$. Unter der komponentenweise genommenen Abbildung

   $\ln \left(\vert {-}\vert \right)\colon {\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{r}\times {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{2s}\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{2s}$

   wird dieses Produkt auf die Summe abgebildet, somit gilt

   ${}{\begin{aligned}\sum _{j=1}^{r}\ln \vert {\rho _{j}(f)}\vert +\sum _{i=1}^{s}\ln \vert {\sigma _{r+i}(f)}\vert +\sum _{i=1}^{s}\ln \vert {{\overline {\sigma _{r+i}}}(f)}\vert &=\sum _{j=1}^{r}\ln \vert {\rho _{j}(f)}\vert +2\sum _{i=1}^{s}\ln \vert {\sigma _{r+i}(f)}\vert \\&=0.\end{aligned}}$

   Die letzte Gleichung bedeutet gerade, dass ${}L(f)$ auf der Hyperebene ${}H$ liegt.

3. Es ist zu zeigen, dass das Bild ${}L(R^{\times })$ mit jeder beschränkten Teilmenge von ${}H$ einen endlichen Durchschnitt besitzt. Das Urbild einer beschränkten Teilmenge unter ${}\ell$ ist aber auch beschränkt, und der Durchschnitt mit dem Gitter ${}\Gamma$ ist endlich.

Zur bewiesenen Aussage