Zahlbereich/Regulator/Volumen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich mit ${}r$ reellen Einbettungen und ${}s$ Paaren von komplexen Einbettungen und es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{r+s-1}$ ein System von Fundamentaleinheiten von ${}R$. Es sei ${}\Lambda$ das von ${}L(u_{1}),\ldots ,L(u_{r+s-1})$ im Untervektorraum ${}H={\left\{(v_{1},\ldots ,v_{r+s})\mid \sum _{j=1}^{r+s}v_{j}=0\right\}}\subset \mathbb {R} ^{r+s}$ erzeugte Gitter. Zeige, dass zwischen dem Regulator und dem Volumen einer Grundmasche ${}{\mathfrak {M}}$ von ${}\Lambda$ der Zusammenhang

${}{\sqrt {r+s}}\cdot \operatorname {Reg} (R)=\operatorname {vol} {\left({\mathfrak {M}}\right)}\,$

besteht.

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